Hermitian 流形上复 Monge-Ampère 方程的有界解是否光滑？

定理只断言正则轨迹上的光滑性

论文研究紧 Hermitian 流形 X（维数 n）上的复 Monge-Ampère 方程 (θ + dd^c u)^n = e^{f(·,u)+ψ+−ψ−} ω_X^n，其中 θ 是光滑、半正定且大的 (1,1)-形式，f 在 X×R 上光滑，ψ± 是在固定开集 Ω ⊂ X 上光滑的拟 psh 函数。定理 1.1 指出：若 φ 是解该方程的有界 θ-psh 函数，则 φ 在 Ω\D 上光滑，其中 D 是大形式 θ 退化的解析子集。

这里有两个边界很重要。第一，Ω 不必是 Zariski 开集，它可以是 X 中一个很小的开集。第二，定理是有条件的：它说的是若有界解存在，则它在 Ω\D 上光滑。论文明确指出，有界 θ-psh 解的存在性并不被保证。因此这是一个关于解的正则性结论，而不是关于解的存在性结论。

有界解的存在隐含地要求函数 e^{ψ+−ψ−} 在 X 上可积。当 f 关于 t 非递减时，论文指出这一可积性条件也足以保证方程可解；在 Kähler 情形且 Ω 为 Zariski 开集时，唯一解在 Ω\D 上光滑。

右端项可以关于未知函数递减

多数经典处理都假设 f 关于 t 非递减，这使方程具有单调性并带来解的唯一性。本文允许 f 以可能递减的方式依赖于 u。作者指出，当 f 关于 t 不递增时，情况变得更微妙：解在存在时一般并不唯一，只有某些特殊情形例外。

唯一性的丧失并非技术细节。它改变了正则性定理能说什么。论文不能依赖识别出某个唯一的典范解；相反，它必须证明任何有界解，无论来源如何，都在正则轨迹上光滑。因此证明的构造必须在不依赖唯一性的前提下成立。

作者还指出，支配原理表明，当 f 关于 t 非递减时，相关特征值问题中出现的常数 c(t) 关于 t 非递增。他们并不假设 f 递增，因此 c(t) 可能关于 t 为常数。

支配原理取代 Kähler-Ricci 流论证

这一方向上更早的结果使用了 Kähler-Ricci 流的正则化性质。Székelyhidi 与 Tosatti 在 ψ± = 0 且 θ 为 Kähler 的情形下，利用弱 Kähler-Ricci 流的光滑化性质证明了 φ 光滑。Nie 把这一想法用于紧 Hermitian 流形，在一个质量保持条件下得到相同结果，而 Chiose 证明该条件等价于 Guan 与 Li 引入的曲率假设。Kołodziej 与 Nguyen 后来给出了使 Hermitian 情形成立所需的稳定性结果。

本文走的是另一条路。其证明依赖支配原理与先验估计，部分受到 Monge-Ampère 特征值问题的启发。作者把他们的方法描述为当 ψ± = 0 时更简单的替代证明，并强调他们对数据的假设足够灵活，可以把结果推广到奇异簇。

关键工具是有界 θ-psh 函数的比较原理。在本文使用的形式下，若 (θ + dd^c u)^n ≤ e^{u−v}(θ + dd^c v)^n，则 u ≥ v；若对某个 c ≥ 0 有 (θ + dd^c u)^n ≤ c(θ + dd^c v)^n，则 c ≥ 1。最后这一结论就是支配原理。它让作者无需借助流即可比较解。

有界解被光滑解逼近

证明思路在模型情形下最容易看清：θ = ω 为 Kähler 且 ψ± = 0，于是 Ω = X、D = ∅。作者利用 Demailly 逼近定理，用一列递减的光滑 ω-psh 函数 (v_j) 逼近有界解 φ，且对所有 j 有 −C_0 ≤ v_j ≤ C_0。

对每个 j，他们求解 (ω + dd^c u_j)^n = e^{u_j − v_j + f(·,v_j)} ω_X^n，其中 u_j 光滑。命题 3.1 给出统一界 sup_X |u_j| + sup_X |Δ_ω u_j| ≤ C_1，其中 C_1 依赖于 C_0 以及相关非线性项在 X×[−C_0,C_0] 上 C^2 范数的上界。Laplace 估计通过最大化 H = log Tr_ω(ω_φ) + A_1(v+C_0+1)^2 − A_2 φ 并适当选取 A_1、A_2 得到。

统一估计让作者可以抽取子列一致收敛到函数 u ∈ PSH(X, ω)，它解 (ω + dd^c u)^n = e^{u+g(x,φ)} ω_X^n，其中 g(x,t) = −t + f(x,t)。由于 φ 解同一方程，比较原理迫使 u = φ。另一个论证表明序列 (Δ_ω v_j) 也一致有界，随后 C^{2,α} 界与 Schauder 估计把 φ 提升为光滑。

Hermitian 情形与奇异簇随之成立

Kähler 论证随后被推广到 Hermitian 情形，此时 θ 只是半正定且大，ψ± 可能沿 D 奇异。论文用第 4 节给出这一一般情形下的先验估计与定理 1.1 的证明。支配原理的机制相同，但估计必须在没有 Kähler 条件的情况下完成。

一个推论把结果推广到奇异簇。若 V 是带 klt 奇点的紧复簇，配有 Hermitian 形式 ω_V、适配测度 μ_V 以及光滑的 f : V×R → R，则 (ω_V + dd^c u)^n = e^{f(·,u)} μ_V 且 ω_V + dd^c u ≥ 0 的任何有界解在正则轨迹 V_reg 上光滑。证明沿消解 π : X → V 拉回，其中 u∘π 有界、π^*ω_V-psh，并对适当的 ψ± 解该方程。

在 V 是带 klt 奇点的 Q-Fano 紧 Kähler 簇这一特殊情形下，该推论适用，并表明任何奇异 Kähler-Einstein 度量在 V 的正则轨迹上光滑。作者指出，这一推论曾在另一项工作中被宣布可用 Kähler-Ricci 流的光滑化性质证明；而在本文中它由定理 1.1 推出。

上下解并不保证解的存在

定理 1.3 直接处理存在性。若方程存在有界下解 u ∈ PSH(X, θ) 与有界上解 ū ∈ PSH(X, θ) 且 u ≤ ū，则它存在有界解 u ∈ PSH(X, θ)，该解在 Ω 上光滑，并在 X 上满足 u ≤ u ≤ ū。序关系 u ≤ ū 对结论至关重要。

论文明确指出，序关系一般不能去掉。例 5.8 在没有 Kähler-Einstein 度量的 Fano 流形上取 f(x,t) = −t + h(x)，此时方程没有有界解；常数函数 u = C 在 C 足够大时是下解，而 −C 是上解。因此，缺少正确序关系的上下解并不保证解存在。

注 5.5 给出相关论点：仅有下解并不够。若 f 严格递增但 f ≤ −1，ψ± = 0，θ = ω_X，则有界解将满足 (ω_X + dd^c u)^n ≤ e^{−1} ω_X，而支配原理会迫使 u ≥ C 对所有 C > 0 成立，这是不可能的。

f 非递减时存在性成为阈值条件

对非递减的 f，论文证明了一个等价关系。定理 5.4 指出以下三个条件等价：存在 t_0 ∈ R 使 c(t_0) = 0；方程存在有界下解与有界上解；方程存在有界解。这里 c(t) 是使 (θ + dd^c φ_t)^n = e^{c(t)+f(·,t)} g ω_X^n 有解 φ_t ∈ PSH(X, θ) 的唯一常数。

条件 (2) 并不假设下解与上解之间的序关系；论文指出，在加上常数后该序关系自动成立。证明用支配原理对 t_1 = inf_X u 与 t_2 = sup_X ū 证明 c(t_1) ≥ 0 与 c(t_2) ≤ 0，再用 t ↦ c(t) 的连续性找到满足 c(t_0) = 0 的 t_0。

这推广了更早的一个 Kähler 结果，其中条件 (1) 可改写为 ∫_X e^{f(·,t_0)} ω_X^n = ∫_X θ^n。作者指出，在一般 Hermitian 情形下，通过计算 Monge-Ampère 质量来论证的方法失效，因此他们的证明转而依赖比较原理，以及定理 1.3 中给定上下解时方程的求解。

关键区分是正则轨迹而非整个流形

读这篇论文最有用的方式，是把它看作关于光滑性在何处成立的陈述，而不是关于解是否存在的陈述。定理 1.1 给出 Ω\D 上的光滑性，即数据光滑的开集上的光滑性，而且它对任何有界解都成立，包括那些右端项关于未知函数递减、因而未必唯一的方程的解。

实际阈值是 (Ω, D) 这一对。若 Ω 是 X 中一个小开集，结论也相应地是局部的。若 D 非空，则光滑性并未被断言跨越 D。而若不存在有界解，定理就没有可正则化的对象。论文自身的例子表明，缺少正确序关系的上下解可以与不存在性共存，因此仅有一个下解本身并不构成期待光滑解的理由。

对把本文与更早工作相比较的读者而言，相关的对照是方法而非光滑正情形下的结论。当右端项严格正且光滑时，本文重新得到 Hermitian 情形下 Nie 与 Kołodziej-Nguyen、Kähler 情形下 Székelyhidi-Tosatti 的已知结果，而这些结果依赖 Kähler-Ricci 流的正则化性质。本文则通过支配原理与先验估计达到同样的光滑性，并且同一套机制可推广到带 klt 奇点的奇异簇。

本文引用的文献