三个条件最终彼此等价
论文的主定理针对有限生成的 quandle Q 和 R，指出三个条件等价。第一，对每个有限 quandle X，从 Q 到 X 的同态数等于从 R 到 X 的同态数。第二，Q 和 R 的 profinite 完备化连续同构。第三，与 Q 和 R 相关联的边缘系统的 profinite 完备化等价。
这比单向蕴含更强。它说明着色计数数据、profinite quandle 与 profinite 边缘系统在这一类 quandle 上编码了相同的信息，三者中没有任何一个丢失了其他两者保留的信息。
着色计数完全决定 profinite quandle
链被有限 quandle X 着色，就是从链的基本 quandle 到 X 的态射，因此着色数就是这类态射的个数。论文在 Lawvere 理论上的拓扑代数这一更广的框架中工作，推广了此前对群已知的定理：对于拓扑有限生成的代数 X，从 X 到每个有限离散代数的态射个数决定了 X 的有限商同构类集合，而该集合又决定了 profinite 完备化，直至连续同构。
其中的有限性要素是：拓扑有限生成的代数对每个不小于 1 的整数 n，只有有限多个指数为 n 的开同余。没有这一点，从着色计数重建 profinite 完备化就无法进行。
从 quandle 到边缘系统的桥梁
证明的后半部分发展了拓扑与 profinite quandle 理论，包括两种情形下 quandle 的包络群。论文构造了与 profinite quandle R 相关联的 profinite 边缘系统，它与 R 的 profinite 包络群在 R 上的作用紧密相关，并把 Joyce 关于 quandle 与边缘系统之间的对应推广到 profinite 世界。
技术条件是 profinite quandle 的轨道集合必须有限且离散；例如，有限生成离散 quandle 的 profinite 完备化就满足这一条件。在该条件下，给出这样的 profinite quandle 等价于给出它的 profinite 边缘系统，并且对于 quandle Q，其 profinite 完备化的 profinite 边缘系统就是 Q 的边缘系统的 profinite 完备化。
把完备性猜想改写为 profinite 刚性
经典问题是有限 quandle 着色能否区分链：如果两条链不能通过取分裂分支的反向镜像互相得到，是否存在一个有限 quandle，使两条链的着色数不同？论文证明这一猜想等价于一个 profinite 刚性陈述：在对两条链的同样假设下，它们边缘系统的 profinite 完备化不等价。
链的边缘系统记录了补集的基本群，以及每个分支对应的边缘子群和一条经线。它的 profinite 完备化把群换成其 profinite 完备化，把每条经线换成其像，把每个边缘子群换成其像的闭包。两个猜想的等价性来自把主定理应用到链的基本 quandle，因为链被有限 quandle X 的着色数就是从其基本 quandle 到 X 的态射个数。
边缘完备化为何可能是更弱的量
边缘系统的 profinite 完备化比基本群的 profinite 完备化连同分支数更强，因为它保留了边缘数据。完备化过程仍可能丢失信息，而该猜想断言在这一情形下它不会丢失。
论文指出，profinite 刚性对素纽结早有猜想，对八字结和环面纽结已知成立，近来对 2-桥纽结和 3-tangle Montesinos 链也已证明。论文还引用了一个结果：每条链由其基本群的 profinite 完备化决定，至多相差有限多种可能。这些是边缘完备化被期望能看见多少的背景，而不是主定理的推论。
用内自同构判定 profinite 性
对群而言，profinite 性纯粹是拓扑性质，因为 profinite 群恰好是紧致全不连通的群。论文用一个显式例子说明这在 quandle 上不再成立：一个拓扑 quandle 是 profinite 空间但不是剩余有限的，因为它的内自同构族不是等度连续的。
替代的判定准则是：拓扑 quandle Q 是 profinite 的，当且仅当它是 profinite 空间且其内自同构群紧致。论文还研究了内自同构群在同胚群中的闭包，并证明当 Q 是 profinite 时它是 profinite 群。论文主张，这一闭包才是 profinite quandle 理论中相关的对象，而不是内自同构群的 profinite 完备化。
等价性只对有限生成 quandle 成立
主定理针对有限生成的 quandle，而从着色计数重建 profinite 完备化是对拓扑有限生成的代数证明的。profinite 边缘系统的构造要求 profinite quandle 的轨道集合有限且离散，论文指出有限生成离散 quandle 的 profinite 完备化满足这一条件。
论文还纠正了此前的工作：对内自同构而言，profinite quandle 的内自同构群是 profinite 的这一断言是错的，即使该 quandle 是拓扑有限生成的，论文给出了一个有限生成的反例。正确的陈述涉及内自同构群在同胚群中的闭包。因此读者应把这一等价性理解为关于有限生成 quandle 及其 profinite 完备化的陈述，而不是关于所有拓扑 quandle 的无限制断言。
本文引用的文献
Profinite rigidity and quandle colourings
对于有限生成的 quandle Q 和 R，对每个有限 quandle 的着色数相同、profinite 完备化连续同构、以及相关联边缘系统的 profinite 完备化等价，这三个条件彼此等价，从而把有限 quandle 着色的完备性改写为一个 profinite 刚性问题。