缺失的一环是测度相位
格点 QCD 之所以可行，是因为规范场固定后费米子行列式就能定义。手征规范理论多出一个更难的麻烦：被积分的费米子子空间本身就依赖规范场。重叠费米子把这一点暴露得很清楚。由重叠算符构造的修正手征算符定义了依赖规范链的投影算符，因此手征条件在每个规范组态下选出的费米子子空间都不同。
这个条件没有固定的是该子空间上积分测度的相位。随着规范场变化而一致地选择这个相位，正是障碍所在。相位选得不好，格点理论就会失去规范不变性，或者无法光滑依赖规范场。因此论文的目标不是费米子作用量——重叠费米子已经提供了它——而是乘在作用量上的那个测度。
可容许性保证重叠算符良定义
重叠算符由厄米 Wilson 算符的符号函数构造。只有当厄米 Wilson 算符的谱远离零时，这个符号才是规范链的光滑函数。论文把讨论限制在可容许规范场，即元胞（plaquette）足够接近单位元，从而使相关本征值与零保持间隔，重叠算符成为规范链的光滑函数。
这一限制是实打实的工作条件，不是装饰。构造中所有局域性和光滑性陈述都在可容许场上给出。单条链以及绕周期方向的输运不必接近单位元；约束加在元胞偏离上。论文还处理了标准模型规范群全部四种可能的整体结构，因为微扰论无法区分它们。
比较两个格点间距下的投影算符
核心手段是比较相邻格点间距下的手征投影算符。论文从原始格点链构造一个光滑联络，在更细的辅助间距上对它采样，并在共同的色空间中比较粗、细两套重叠算符。两者的差异定义了一个流，这个流正是进入测度项的量。
这一比较被设计成使结果具有指数局域性：远处区域的贡献随距离指数衰减，且衰减率在物理归一化后仍然成立。论文按作用范围分离各项贡献，说明色因子在应当抵消处抵消，并对格点求和给出界。该流对原始链的前三阶导数在真空处为零；全反演论证排除了格点间距的偶次幂，使精确流的压低强于单个多项式项。
Lüscher 重构究竟需要什么
Lüscher 的重构方法从一个满足一组条件的流出发，构造光滑、规范不变的费米子测度。论文围绕这些条件组织证明，而不是围绕单一公式。光滑性和局域性保证测度对规范场的微小变化作出合理响应。规范不变性保证测度随费米子场一同变换，反常出现在协变散度方程中，而不是表现为不变性被破坏。
还需要两个可积性条件。微分条件保证该流是某个测度项的导数，从而相位在无穷小形变下与路径无关。完整可积性条件保证绕闭合回路的相位彼此一致，使测度可以整体定义，而不只是局部定义。论文在可容许场上建立了这些性质，包括回路相位以及旋转、反射和电荷共轭下的行为。
整体相位与不连通规范扇区
要在整个可容许场空间上定义测度，仅有局部一致性还不够。论文借助一个辅助联络和共轭费米子对处理整体可积性：在柱面上输运行列式相位，并在细化极限下与辅助边界相位比较。正是这一步把局部定义的流变成重构出的测度。
重构之后，可容许场空间的不连通分量仍留有相位自由度。论文指出，通过物理考虑固定这一剩余自由度是后续研究方向。论文也指出，与可容许性相容的反射正定性尚未在此建立。这些是当前结果的边界，而非记号细节：它们标出了一个完整的格点定义仍需要什么。
构造覆盖哪些规范理论
这一构造并不限于标准模型。论文先给出费米子表示需满足的条件，然后把同样的论证应用于一类非阿贝尔手征规范理论。在它所覆盖的 SU(N) 理论中，伴随表示没有不变矢量，从而排除常数流；其不变线性映射是标量。结合轴变换律，无量纲流在四阶以内唯一可能的候选项是场强协变导数的 epsilon 张量缩并，而它由比安基恒等式为零。
于是，对完整多项式贡献，物理流和测度响应为 O(a^2)；对精确流，响应为 O(a^6)。论文也说明了构造不延伸到何处：它覆盖指定类别内的理论，并在所需表示条件不满足时限制到其他群。标准模型本身则按全部四种可能的整体规范群结构处理。
原理性定义而非模拟配方
论文明确说明，这是一种原理性表述，而非实用方案。确定最优的数值可容许界、提炼对现实格点模拟有用的经验、以及走向实际实现，都被列为后续工作。相互作用连续理论也仍未解决：候选格点理论只是起点，不是完成的定义。
有限截断分析显示了近似的行为。截断流的多项式表示只把测度改变一个模为 1 的相位，因此近似测度保持归一，但它不必光滑依赖规范场，也不必满足规范不变条件。截面误差被一个常数乘以格点体积和路径长度、再乘以随多项式截断增大的衰减因子所界定。在固定格点和端点下，该误差随截断增大趋于零；在联合连续极限中，只有当整个右端趋于零时它才趋于零，这包括体积和路径长度的增长。
重点在测度而非作用量
读这篇论文最有用的方式，是把它看作难题位置的转移。重叠费米子已经在有限间距下提供了精确的格点手征对称性；此前缺少的是规范依赖的费米子子空间上的规范不变测度。论文的贡献在于表明：在可容许场上、在其理论类别内，比较流满足 Lüscher 重构所需的局域性、规范性和可积性条件。
实际的门槛也来自同一结构。构造的保证与可容许元胞界以及流的多项式截断绑定，因此接下来的问题是可容许界能收紧到什么程度，以及截断误差在现实模拟中如何标度。在这些问题得到回答之前，该结果应被读作标准模型及类似手征规范理论的候选非微扰定义，而不是已被证明的计算框架。
本文引用的文献
A gauge-invariant measure for lattice chiral fermions
在四维欧氏格点上，为一类包含标准模型的非阿贝尔手征规范理论，非微扰地构造了重叠费米子的规范不变测度；在可容许规范场上，利用指数局域的比较流满足 Lüscher 重构准则。