SDP 搜索能否提高 Laughlin 能隙下界？

约束的是算子，不是实测能隙

研究对象是 V1 赝势哈密顿量，它是填充因子 1/3 处 Laughlin 态最简单的母哈密顿量：每对费米子在相对角动量为一的通道上付出能量一，在其他通道上不付出能量。猜想是它的正谱与零保持一致的间隔。在带有 Q 个磁通量子的球面上，论文处理的是 H_Q，即把上述配对投影算子对所有粒子数求和后，作用在最低朗道能级 Fock 空间上的算子。

结论是一个算子不等式：H_Q 的平方大于或等于 γ 乘以 H_Q，对每个小于 γ* 的 γ 成立。于是 H_Q 的谱被包含在 {0} 与 [γ, ∞) 的并集内，而 Laughlin 磁通处的零模唯一，这就给出通常意义上的基态能隙。阈值磁通 Q_γ 是存在性的，且与粒子数无关；论文指出其裕度很小，因此不等式首次成立的磁通大概非常大，这些陈述针对的是热力学极限。

两个推论把常数带到具体情形。在 Q = 3(N−1) 的球面上，对所有 N ≥ N_0，哈密顿量至少为 (1/5)(I − P_L,N)，其中 P_L,N 投影到 Laughlin 态。对未截断的平面 V1 哈密顿量，(H^pl_N)² ≥ γ* H^pl_N 在粒子数与总角动量上一致成立。还有一个推论给出电荷能隙 Δ_N 的下界 N/[5(N−1)]，对 N ≥ N_0 成立。

压低旧常数的三项代价

此前的证明把常数平衡写成 1 − η − δ − 1222ε，其中 η = 0.93527，δ = 61/4096 = 0.01489，1222ε = 0.003666。每一项各有分工。η 是七个辅助算子的配对湮灭部分带来的两体代价。δ 约束那些辅助算子触及不到的三体自旋块，用柯西–施瓦茨估计，在第 z 块引入因子 z+1。1222ε 这一项为四体证书中的容差 εI 付费，那是一个在 23 个保留自旋块中逐块重复的贝塞尔估计。

论文逐项处理。对三体尾部，把一个自旋块与单个乘积向量的旋转平均作比较，把因子 z+1 换成 1/max_p Bin(z, 1/3)(p)，后者约为 (2/3)√(πz)；尾部 δ 从 0.0149 降到 0.0041。对四体容差，总亏损为 T 处一个向量的旋转平均一次性为所有 D ≤ T 的自旋块付容差，因此统一容差只需 144ε 而不是 1222ε，而依赖块的容差则付出论文称为阶梯价格的求和。

仅这两项估计，用在原来的七行数据上、不改动证书，就把常数抬到 0.0601 以上。论文的表格记录了这一序列：原始数据为 0.0461673，采用阶梯价格为 0.0494013，采用乘积旋转尾部为 0.0569644，两者都用为 0.0601984。每个条目都是严格常数；使用新辅助算子的条目由精确有理算术认证，其余条目沿用原证书不变。

辅助算子成为 SDP 变量

更大的增益来自辅助算子本身。证书中的每个量都只通过这些算子的 Gram 矩阵依赖它们，而且是线性的。因此对它们做优化就是一个半定规划：搜索变量是 Gram 矩阵，约束是可容许性定义中的三体不等式与四体正性条件。

在原来的指标集内，这一优化已经把 η 降到 0.92144，且完全不需要容差。扩大指标集是主要杠杆：它把 η 降到 0.78097，同时把尾部推到第 35 块之外，在那里可以忽略。指标界记作 (p̄, j̄, ı̄, t̄)；原来的选择是 (7,8,8,7)，最终证书使用 (17,18,18,17)，共 64 行。

表格的推进显示了杠杆在哪里。原指标集上的十行给出 0.0636643（无容差）和 0.0744614（加乘积旋转尾部）。(9,10,13,9) 处的二十行在无需容差时给出 0.1882970。(14,15,15,14) 处的三十七行带一个块容差给出 0.2138574，(16,17,17,16) 处的 47 行给出 0.2178926，(17,18,18,17) 处的 64 行给出 0.2190037。用阶梯价格给最后的容差定价、仍取 c_z = z+1，可把最后一个数字抬到 0.2190169。

数值找证书，有理数验证

只有第一步是数值的。半定规划用稠密原始–对偶内点法求解，采用 HKM 搜索方向和 Mehrotra 预测–校正方案，并先消去约束矩阵的公共零空间。在每个最优解处，三体不等式被定价的违反量都低于 2×10⁻⁸；对 (7,8,8,7) 和 (9,10,10,9)，用硬约束求解得到的解与表中显示的所有数字一致。

数值最优解落在许多紧约束上，无法直接取整。论文用 10⁻⁹ 到 10⁻⁷ 量级的裕度收紧约束重新求解，对每个矩阵的秩加一个小惩罚，再从谱分解中提取低秩行，保留特征值超过最大特征值 10⁻³ 倍的特征向量。随后把行按 10¹⁰ 到 10¹⁵ 之间的分母 P 取整为整数，并在三体裕度为 10⁻¹⁰ 到 10⁻⁸ 量级的条件下重新优化配对系数以最小化 η。最后在 1/P 网格上用精确二分找出最小的可容许容差。

然后用精确有理算术检查可容许性：每个三体裕度都算成有理数并检查为正，每个四体条件都通过一个合同矩阵检查，既用精确对称 LDLᵀ 消元，也用 Leverrier–Faddeev 递推计算特征系数的符号。每份证书都由至少两个相互独立的精确实现验证，它们都能从原来的七行数据精确复现此前的常数 4616733319001/10¹⁴。在反向测试中，把所有整数做相对 10⁻⁶ 的扰动，或删掉任意一行，检查都会失败。

最终证书里究竟有什么

主证书取 (p̄, j̄, ı̄, t̄) = (17,18,18,17)，在 P = 10¹³ 下共 64 行，含 14,417 个非零整数 a_pj。它太长无法印出，因此作为附件文件分发，附有 SHA-256 哈希，以及一个自包含的验证脚本；该脚本只用 Python 标准库，只读证书文件，用精确整数与有理算术重算每个条件，运行时间不到一分钟。

其数据很具体：各平移 t = 0,…,17 对应的行数为 3,3,4,4,2,2,2,3,4,3,3,3,3,1,5,2,2,15；容差 ε_D 除 D = 13、14、15、17、20、37、39 外均为零；T_3 = 35，T_4 = 53，转移引理中的局部模式为 0 到 54；全部 33 个三体裕度为正，最小的是 z = 5 处的 1.99999×10⁻⁸；在任何 D ≤ 53 的块中都没有负的特征系数。

从这份有限数据到 Fock 空间不等式的转移依赖定理 2.4，它把此前的比较论证重述为对任意有限指标集和任意依赖块的容差都成立。其证明逐行沿用此前的论证，只记录指标范围进入的地方，并把算子不等式归约为有限多个极限矩阵不等式。作为对扩大范围后极限公式的独立检查，作者用 SU(2) 升降算子构造了有限磁通下的耦合基；对 10³ 到 10⁵ 之间的 Q 以及 z ≤ 35、D ≤ 53 的抽样块，有限磁通的迹与矩阵以 O(1/Q) 的速率收敛到极限数据。

这类算子最多能走多远

论文明确指出 0.219 不是真实能隙。对 SDP 最优解的启发式外推表明，现有形式的辅助算子最多只能给出约 0.222，而对有限系统的精确对角化把真实能隙放在约 0.4 附近。因此认证常数接近的是这类算子的上限，而不是物理能隙。

另一项测试考察三体分析中那类配对到粒子的算子是否有帮助。在 (14,15,15,14) 的最优解处，相关检验量在被覆盖块上的最大值为 0.62，低于阈值 1，因此这类算子除了去掉本已可忽略的尾部之外，无法改进证书。

论文给出的前进方向是更大的辅助算子族，它可以把下界进一步推向真实能隙，而 SDP 表述让这类算子族易于测试。论文还记录，改进的证明与 SDP 搜索由 AI 模型 Claude Opus 5.5（Anthropic）在作者指导下完成，人的输入在于意识到此前的证书看起来是手工挑选而非优化得到的。

读认证常数，而非能隙估计

这篇论文中最值得比较的是三个回答不同问题的数字。γ* = 0.2190037845063196 是严格认证的下界，针对重标度后的算子不等式，对所有足够大的磁通成立，且与粒子数无关。约 0.222 是对这类辅助算子饱和位置的启发式外推。约 0.4 来自有限系统的精确对角化，描述的是真实能隙。把其中任何一个当作另一个的替代，都会误述论文确立的内容。

在认证这一列内部，顺序也很重要。两项新估计单独就把 0.0461673 推到 0.0601984，且不触碰证书；而对扩大指标集做 SDP 搜索把它推到 0.2190037。对最终容差应用阶梯价格只增加 0.2190169，因此主导杠杆是辅助算子指标集的规模，而不是定价上的改进。

实际读法是：下界现在在大球面上高于 1/5，在平面上为正且一致，而到真实能隙的剩余距离被归因于辅助算子形式的限制，而不是比较框架。任何延伸这项工作的人都应把 SDP 表述当作试验台：论文自身的证据表明，能推动认证数字的是更大的算子族，而现有算子族已接近其表观上限。

本文引用的文献