异频增强传感能精确测量腔模间距吗？

拍频相位暴露差分锁定误差

这篇论文要问的是：光学腔纵模之间的频率间距，能否比两台已稳定激光的拍频本身所允许的更精确地测量。障碍在于每台激光都通过 Pound-Drever-Hall（PDH）环路锁定到腔的一个共振上，而传感噪声、控制噪声或有限的环路增益会让每台激光偏离其共振。这些失谐会出现在透射拍频中，伪装成模间距的变化。

该方案使用两台共振激光，记为 a 和 b，稳定到相隔一个 19 m 腔自由光谱范围（FSR）的两个共振上。它们的干涉拍频被测量两次：一次在光进入腔之前的光电探测器 PDi 处，一次在透射端的 PDt 处。PDH 在反射端利用的腔致相移同样会出现在透射拍频上，因此两个锁定点的任何差分误差都会在入射与透射拍频之间产生差分相位。

由于该差分相位是动态的，仅用腔的存储时间就能把它换算成差分频率误差。在后处理中从测得的透射拍频频率中减去这一误差，就得到校正后的量，即腔共振之间频率间距的变化。在理想情况下，两台激光所处的共振仅纵模阶数不同，此时校正信号等于腔 FSR 的变化。

差分相位为何能换算为频率

这一换算依赖腔的存储时间，论文报告为 1.308 ± 0.010 ms。动态差分频率误差等于透射与入射拍频相位涨落之差除以该存储时间。相位差中的静态部分，包括腔镜与光电探测器之间的光程长度，会自行消去，因为它不涨落；论文指出，这类参数的变化与拍频波长成反比耦合，而拍频波长量级与腔长相当，因此它们对测得相位的影响可以忽略。

这正是把读者容易混淆的两件事区分开的机制。透射拍频的频率涨落与腔模间距的变化不是同一个量。前者同时包含差分锁定误差和共振间距的任何真实变化；后者是扣除差分误差后剩下的部分。论文的校正谱是对模间距变化的估计，而不是对原始拍频的直接测量。

校正谱究竟改善了什么

测量使用两台 1064 nm 的 Nd:YAG 非平面环形振荡器，二者都经电光调制器进行相位调制以用于 PDH 传感，误差信号送入 PID 控制器，驱动激光晶体上的压电与温度执行器。两台激光被稳定到相隔一个 FSR 的共振上，产生 7.89165 ± 0.00003 MHz 的拍频。拍频频率可以读到亚赫兹精度，但由于测量期间腔长变化，它漂移了约 30 Hz。激光与腔基模的空间重叠为 97 ± 1%。

在噪声谱中，高于 1 mHz 时测得的频率失谐与透射拍频的频率噪声吻合得极好。低于 1 mHz 时，腔长噪声成为拍频频率噪声的主导来源。这是论文的证据，说明在大部分频谱上，拍频频率噪声的首要来源是激光频率稳定系统中的残余噪声，而不是腔本身。

校正谱把估计的残余差分频率噪声在 10 mHz 至 10 Hz 之间压低近一个数量级，在该范围内某些频率上最多压低 30 倍。低于 10 mHz 以及 8 Hz 至 50 Hz 之间，校正信号能够分辨由腔长噪声引起的腔共振之间频率变化。在大约 100 mHz 至 5 Hz 之间，额外噪声使校正谱高于腔长噪声并限制灵敏度；论文指出其确切来源未知，但将其归因于杂散光在光电探测器处产生的小幅矢量相位噪声。

注入信号直接展示噪声去除

第二项测试向 Laser A 和 Laser B 的 PDH 锁定误差点分别注入 12 Hz 和 14 Hz 正弦信号，其幅度远高于稳定系统的环外噪声。在透射拍频以及激光相对腔共振的频率失谐中，注入谱线清晰可见。在计算校正后的拍频频率后，这些谱线几乎消失。

这是论文最干净的演示，说明该技术在那些频率上把估计的残余频率噪声削减了两个数量级以上。它也表明该方法并非只是把频谱平滑：它去除的是一个已知的、刻意加入的扰动，而原始拍频会如实报告这一扰动。

积分时间决定该信任哪个信号

论文中的实际比较是校正与未校正拍频频率噪声谱随积分时间的变化。校正数据在短于 100 s 的积分时间下即可分辨腔长噪声，而未校正的频率数据至少需要 1000 s 才能做到。也就是说，就腔长噪声得出相同结论所需的平均时间相差约一个数量级。

这一比较还有频率边界。校正信号在其处于或低于腔长噪声处才有用，论文报告为低于 10 mHz 以及 8 Hz 至 50 Hz。在大约 100 mHz 至 5 Hz 之间，无法解释的额外噪声使校正谱高于腔长噪声，因此校正在那里并不能带来同样的灵敏度。读者在决定是否采用该方案时，应把积分时间和所关注的傅里叶频段与这两个范围对照检查。

既是诊断工具也是校正手段

论文把该技术呈现为两种角色。第一，它对激光频率控制环路中的差分噪声进行环外测量，作者将其描述为表征激光频率稳定系统的有价值的诊断工具。第二，它在后处理中去除该噪声，以提高腔模间距的传感精度。

作者还认为，把噪声编码到兆赫兹拍频的相位上（这源于使用异频传感）使该方法在测量低频误差点噪声时更为稳健。这是作者对该方法为何有效的解释，而不是本文中与其他读出方法进行的单独测量比较。

方法在哪里得到验证，在哪里没有

该演示覆盖一个 19 m 腔、两台 1064 nm Nd:YAG 激光，以及相隔一个 FSR、偏振相同的纵模，校正信号被解释为腔 FSR 的变化。论文指出，该技术可以扩展到其他模间距，例如高阶模之间或偏振本征模之间的间距，并建议更广泛地应用于共振介质，甚至无需光学腔，只需测量两台激光在通过该介质前后的拍频。这些扩展是提出的设想，并未在本文中演示。

大约 100 mHz 至 5 Hz 之间无法解释的额外噪声，是该配置下灵敏度的主要实测限制，论文暂时将其归因于杂散光在光电探测器处引起的矢量相位噪声。测量期间 30 Hz 的拍频漂移则是对原始拍频的另一项实际约束，而校正正是为了绕开这类漂移，而不是从源头消除它。

关键在频段而非那个最大倍数

最具决策价值的结果不是 30 这个单一最大抑制倍数，而是两组边界的配对：校正信号在低于 10 mHz 以及 8 Hz 至 50 Hz 处能分辨腔长噪声，且在短于 100 s 的积分时间下即可做到，而未校正拍频至少需要 1000 s。在大约 100 mHz 至 5 Hz 之间，额外噪声使校正谱高于腔长噪声，因此校正在那里买不到同样的灵敏度。

因此，对权衡该方案的读者来说，第一个问题应是目标测量落在哪个傅里叶频段、需要多长积分时间。如果落在可分辨频段内且能容忍短于 100 s 的平均，校正拍频就是应使用的信号；如果落在 100 mHz 至 5 Hz 窗口内，论文自己的数据显示校正受来源尚未确定的噪声限制。该技术已验证的范围是 19 m 腔中相隔一个 FSR、偏振相同的纵模，而向其他模间距或无腔共振介质的扩展仍只是提议。

本文引用的文献