大语言模型能否引导发现权重五双变量自行车码？

权重五意味着更紧的多项式族

双变量自行车（BB）码是Calderbank–Shor–Steane（CSS）量子低密度奇偶校验码中一个重要族。研究最广泛的BB码使用两个三项式，得到权重六的稳定子生成元。这篇论文把此前的LLM引导程序演化工作流扩展到权重五码，其中“权重五”指每个稳定子生成元的泡利权重。对于这里使用的正则二项式–三项式（2+3）CSS构造，数据量子比特度数也等于五，但论文指出电路连通性与规范校验权重仍是不同的量。

搜索针对具有2+3支撑划分、块长度72≤n≤432的双变量码。CSS搜索在小周期格与大周期格两个互补配置下优化kd²/n，而扰动双变量自行车（PBB）搜索优先考虑d≥5的非CSS候选。六个CSS距离评估格共包含13,656,867个归一化二项式–三项式对，因此搜索空间有限但很大。

目录为227个类认证了精确距离

四次搜索产生了13,923条正距离观测，代表1,297个不同提案。在排除155个精确值或报告端点d≤2的提案后，保留目录包含1,142个提案的12,036条观测：912个CSS和230个PBB。其中1,081个是可归因于LLM生成程序的非基线提案；其余61个包括35个仅种子/空提案、6个没有保留归因事件的提案，以及20个独立提供的固定基线。

距离认证结合了定向后续验证与全目录低权重搜索。定向后续验证为175个保留目标中的106个确定了精确距离。全目录搜索检查了492个包含无直接下界证据提案的CSS类；它发现两个d=2提案并将其排除，在d=3或4上解决了62个类和92个提案，并在428个类和764个提案中认证d≥5。后者中有45个提案在两个扇区还具有显式权重五逻辑算符，因此是精确的。

在每个表示类内合并距离证据后，得到227个精确类和403个具有认证下界与报告端点的类。精确类覆盖436个提案：398个在合并前已具有精确行级状态，38个通过类同构获得该状态。论文报告没有类包含相互冲突的距离或不兼容的界。

连通CSS实现达到[[180,4,14]]

三个精确的非连通母码具有可给出显式更短BB表示的连通分量。[[384,16,10]]母码分解为四个同构分量；在(ℓ,m)=(16,3)上、A=1+y+x²y²、B=1+x³的连通BB表示与其中一个分量BLISS同构，因此定义了一个精确的[[96,4,10]]码。[[420,18,10]]的三个分量给出在(ℓ,m)=(5,14)上、A=1+y¹³+x⁴y¹¹、B=1+xy⁷的连通BB表示，得到[[140,6,10]]。它们的品质因数（FOM = kd²/n）分别为4.17和4.29。

在目录中的连通CSS码里，[[180,4,14]]具有最大的精确FOM，为4.356；[[180,4,13]]给出另一个精确结果，FOM为3.76。论文还报告，[[96,4,10]]实现等价于阶为48的循环群C₄₈上的一个Lin–Pryadko档案构造，为该档案构造补充了显式双变量表示和母码–分量关系。相对于Voss的[[96,4,8]]基准，[[96,4,10]]参数点在相同(n,k)下具有更大的距离。

大母码维度多来自复制

一项与基无关的连通性分析识别出1,142个保留提案中有409个是非连通的：912个CSS提案中的307个（33.7%）和230个PBB提案中的102个（44.3%）。在类层面，630个类中有268个非连通，包括227个精确类中的166个（73.1%）。对每个非连通提案，各分量大小相等，其维度之和等于母码k，且它们的着色Tanner图在BLISS规范标号下两两同构。

对七个高k CSS母码的分量分析发现，每个都是两两同构分量的直和。所有四个k≥40的保留CSS提案都是具有精确距离d≤5的非连通直和。更一般地，409个非连通提案中有408个的分量维度k₀∈{2,4,6,8}；唯一例外是[[420,20,5]]=2×[[210,10,5]]。没有保留的连通CSS提案具有k≥20：最大连通维度为16，由精确的[[384,16,4]]码达到，而最大连通PBB维度为四。论文由此得出结论：目录中大多数大母码维度来自复制。

LLM搜索产出更多认证d≥5码

在LLM引导搜索中936个具有记录正距离的不同CSS提案里，816个（87.18%）被认证为d≥5。作为比较，三个随机搜索对照各自不放回地均匀采样6,444个CSS码提案，使用与LLM引导搜索相同的每格和编码维度采样数。在这些对照中，4,672–4,785个提案（72.50–74.26%）满足同一标准。

论文指出，LLM引导搜索的认证产出率更高，而随机对照覆盖了更多连通类，并且每个重复都采样到搜索认证的[[180,4,14]]类。作者将其描述为权重五迁移对照，补充了此前工作中更广泛的均匀随机和遗传算法基准。局限性指出，分层均匀实验固定了搜索按格和维度带的分配，检验的是这些层内的选择，而非层间分配；其搜索分母包含记录的正距离观测，而对照分母包含所有完成的选择评估，因此报告的搜索比例可能超过其尝试调用产出率。

分圆核组织连通类

精确连通CSS构造共享一个共同的商特征结构。将格平移群加法书写，令G=Z_ℓ×Z_m，并令φ:G→Z_q为满射同态。对于F₂扩域中的本原q次单位根ω，单项式xⁱyʲ被求值为ω^φ(i,j)。如果二项式的两项具有相同像，且三项式的三项之和为零，则两个BB多项式在该特征上消失，其Frobenius轨道就是一个共同核扇区。

论文报告，重数为一的3阶轨道次数为二，贡献四个逻辑维度；重数为一的7阶轨道次数为三，贡献六个。代数分析将连通CSS类组织为3阶、7阶和15阶分圆核层，并在采样格阶内给出一个28类的双方向表示分类。局限性指出，该分类刻画的是所展示的群代数表示，而非所有等价实现。

PBB码最强点达到[[216,4,10]]

对于PBB码，最强的连通精确参数点是[[216,4,10]]，由两个不同的分量类达到。一项完整的群级计算证明，四个[[12,2,3]]分量类中没有一个与CSS局部Clifford等价。具有认证精确距离的最短分量是一个PBB [[12,2,3]]码和一个CSS [[24,4,3]]码，二者FOM均为1.50。

一项搜索后比较认证了七个导入的Lin–Pryadko档案构造。对于该档案中同样出现的领先参数三元组，论文提供了精确距离证据、显式双变量表示和已验证的分量约化。该比较还认证了非阿贝尔群C₁₁×S₃上的[[132,4,12]]构造，其FOM为4.364，是已汇编的精确权重五值中最高的。该档案还报告了非阿贝尔环境群上参数为[[168,4,14]]（FOM 4.67）、[[180,4,15]]（5.00）和[[192,4,16]]（5.33）的构造，但其档案距离是用随机化程序得到的；论文的全逻辑MILP尝试分别找到了匹配的权重14、权重15和权重16见证，并在每个逻辑时间限制内对8个逻辑目标中的1个、0个和1个证明了最优性。

生成过程中应检验连通性

论文的结构分析显示，具有精确距离证书的类中有73.1%包含重复的连通分量，且大多数大母码维度来自复制，而非真正大的连通码。这影响读者比较候选码的方式：一个k很大的母码可能是若干小同构分量的直和，而分量商将630个母类缩减为608个分量类（528个CSS和80个PBB，其中206个精确、402个非精确）。

作者指出，分量结果促使人们在生成过程中检验连通性，并在未来搜索中直接优化一个规范连通分量。在所研究的参数范围和当前精确证据下，CSS发现定义了更强的有限长度包络。局限性指出，630个表示类商掉的是存储生成元图的对称性，而非任意稳定子基变换或一般局部Clifford操作，因此是码等价类的一个上界；PBB标签“非CSS”同样指所测试的变换集，例外是四个[[12,2,3]]分量类，其完整局部Clifford轨道已被检查。因此，最具决策相关性的优先事项是把连通性当作一等搜索目标，并在连通分量层面比较候选码，其中精确的[[180,4,14]] CSS点和[[216,4,10]] PBB点定义了最强的认证端点。

本文引用的文献