逻辑错误率能否不靠蒙特卡洛采样预测？

蒙特卡洛成本随距离和层数爆炸

用蒙特卡洛采样估计逻辑错误率（LER），在物理错误率 p、码距离 d 和相对误差 ε 下需要 O(p^−⌈d/2⌉/ε²) 个样本。这一标度在大 d 和低 p 时已经难以承受，而对级联码更糟：其距离随级联层数 ℓ 按 d^ℓ 增长。

论文量化了实际后果：在 p = 10^−3 时，对作者比较的 148 个情形中的 113 个，蒙特卡洛采样需要超过 10^12 个样本。每次蒙特卡洛运行也只给出单个 p 下的 LER，因此换一个 p 就要重新运行。

fail fast 方法通过分别采样每个权重的失败来降低成本，但论文指出它只适用于非级联码，也不建模级联码各级之间传递的软信息。这一空缺正是新预测器的目标。

预测器需要稳定子和最小权逻辑算符

预测器的输入是一个码的稳定子、最小权逻辑算符，以及当 d 为奇数时权重为 d + 1 的逻辑算符。由此它无需采样即可计算 LER 表示为 p 的多项式时的领头单项式 c·p^o。

该计算在每一级级联上进行，在预算固定时耗时对码参数为多项式、对 ℓ 为线性。论文证明：只要没有预算被耗尽，该预测对任意非级联稳定子码、每个逻辑可观测量和任意逐量子比特错误率都是精确的。

对级联码，作者构造了一种递归方法，可在指数时间内精确计算领头单项式；预测器则近似这一递归。正是这种近似使运行时间对 d 和最小权逻辑算符数目为多项式。

小 p 下解码器只比较领头阶

机制取决于软树解码器在小 p 下的行为。解码器比较各逻辑类似然度的领头阶，因此它在某个错误构型上是否失败，只取决于这些阶之间的间隔。

预测器在包含该错误构型的最小权逻辑算符的交集处对每个失败错误构型计数，再用一个递归从下一级的间隔分布计算每一级的间隔分布。施加在该递归上的预算使预测器保持多项式时间。

这就是为什么单个领头单项式可以代替完整的 LER 曲线：它一次运行就给出每个足够小的 p 下的 LER，而不是每个 p 运行一次。

第 1 级预测与精确枚举相差 0.1% 以内

作者用三个基线做验证：带树解码器的蒙特卡洛采样（含 95% 置信区间）、在联合边缘最大似然解码器下对错误做精确枚举，以及在第 1 级与 fail fast 比较。后两者只在表 2 所述的小码和距离下可行。

在第 1 级，预测在 p = 3.2×10^−4 时与精确枚举相差 0.1% 以内，验证了精确性定理。在第 1 级以上，对 iceberg 码至多三级预测相差 0.2% 以内；对第 2 级的 toric 码，预测的领头系数等于精确值。

论文还报告了与一个基于采样的基线的对比：在 p = 10^−3 时，使用 BP-OSD 的 fail fast 估计出的 LER 比预测高出最多 2.5×10^9 倍，因为 BP-OSD 会在一些权重低于 d/2 的错误构型上失败。

只有两个预算会实质改变预测 LER

预测器依赖一组预算。对六个处于最深层的级联码，加上第 1 级的 d = 9 和 d = 11 表面码，逐一在其默认值附近变动每个预算，结果显示四个预算——B_cellratio、B_class、B_configweight 和 B_truthconv——从不改变预测的 LER。

把 B_gap 或 B_likelihood 降到默认值以下确实会改变结果：在 B_gap 为默认值一半时最多改变 34%，在 B_gap = 2 时最多改变九个数量级。高于默认值时，两者对 LER 的改变都不超过 3%，而 B_likelihood 在其默认值的 16 倍时把运行时间最多放大 12 倍。

在默认预算下，除第 2 级的 d = 4 表面码外，每个预测都在所测最大预算下取值的 3% 以内；该表面码在默认 B_work 下 LER 高出 15%，从默认值的两倍起不再变化。因此作者在第 1 级以上设 B_work = 4.8×10^7。

最佳码取决于噪声偏置

借助该预测器，作者在 48 核时内评估并比较了四种噪声偏置下的 37 个码配置。比较按有效距离 D = d^ℓ 对码分组，并报告在码容量噪声下 p = 10^−3 时第一个逻辑量子比特的预测 LER。

核心观察是：最佳码的选择取决于噪声偏置。同一次运行还给出每个 p 下的预测 LER，而蒙特卡洛必须对每个 p 重新运行。

预测器还支持一种实用搜索：在仍满足所需性质（如最低编码率 e* 或最少逻辑量子比特数 k*）的码中，选出 LER 最低者。例如在 p = 10^−3、目标 LER 为 10^−12 时，d = 11 的表面码所需物理量子比特最少，为 121；但若要求 e* = 0.2，GALA 用 132 个物理量子比特承载 30 个逻辑量子比特即可达到该目标。

精确性只在预算未耗尽时成立

精确性保证是有条件的。只要没有预算被耗尽，预测对任意非级联稳定子码、每个逻辑可观测量和任意逐量子比特错误率都是精确的。对级联码，精确递归是指数时间的；实际部署的预测器是对它的近似。

第二个边界涉及作为输入的逻辑算符。缺失一个逻辑算符会使预测器漏掉一些实际解码器会失败的错误构型，因此如果每个预算都足够大，第 1 级总 LER 的计算领头系数是真实值的下界。这对任何特定逻辑可观测量 θ 的 LER 未必成立，因为缺失的逻辑算符也可能使预测器漏掉一个不翻转 θ 的竞争类。

对高码率码，搜索按 Chao1 估计找到最小权逻辑算符的 7% 到 95%。当另一次调用返回已找到逻辑算符的估计概率至少为 0.94 时——即 gross 码和 d = 10 的 Mitten 码——作者按算符集估计规模与已找到数目之比缩放预测的领头系数；对其他高码率码，他们报告基于已找到算符的预测，因为估计不够可信。

在匹配有效距离和给定偏置下比较码

这篇论文最具决策价值的输出不是一个 LER 数字，而是一套比较协议。由于预测器按有效距离 D = d^ℓ 对码分组，并报告给定 p 和噪声偏置下第一个逻辑量子比特的 LER，读者在比较候选码时应先匹配 D、p 和偏置，再读出胜者。

论文自身的排名说明了原因：在相同有效距离下，竞争者中的最佳码随噪声偏置而变，因此在去极化噪声下得到的排名不能迁移到 X、Y 或 Z 偏置噪声。比较所用的偏置情景让一个泡利以概率 0.8p 出现，另外两个各以概率 0.1p 出现。

论文强调的实用阈值是目标 LER。在 p = 10^−3、目标为 10^−12 时，d = 11 的表面码所需物理量子比特最少，为 121；但一旦施加最低编码率 e* = 0.2，GALA 就用 132 个物理量子比特承载 30 个逻辑量子比特达到同一目标。因此起约束作用的是目标 LER、物理量子比特预算和所需编码率的组合，而非其中任何单独一项。

本文引用的文献