激发态需要不同的变分策略
标准变分量子本征求解器只最小化试探态的能量期望值，而这个下界只会把态推向基态。激发态能量对解释荧光和光化学过程很重要，但在含噪中等规模量子硬件上求取激发态，通常要额外付出代价：辅助比特参与的重叠测量、受控操作、惩罚项，或对大型线性系统做经典对角化。
子空间搜索 VQE（SSVQE）避开了这些开销。它制备若干个相互正交的输入态，再对它们施加同一个共享的参数化酉变换。正交性在输入端就已确定，并由共享酉变换保持，因此该方法不需要基于辅助比特的重叠估计，也不需要标准 VQE 之外的测量设置。论文明确指出，SSVQE 此前一直缺乏实验演示，原因是它要求高保真地制备多个正交态，并在这些态上可重复地施加同一个酉变换。
正交 OAM 模式承载目标子空间
实验把每个态编码到单光子的轨道角动量（OAM）中，同时使用拉盖尔–高斯模式的方位角指数 l 和径向指数 p。把 l 与 p 组合起来，既能保持基的正交性，又能均衡各模式的耦合效率。四维哈密顿量使用 (l, p) = (−3, 4)、(−1, 4)、(1, 4)、(3, 4)；八维情形下，论文列出八组 (l, p)，l 从 −7 到 7。
实现方式不是先构造 N 个正交输入、再对每个输入物理地施加完整的多模酉变换，而是直接把 N 个正交输出态制备成 OAM 量子数位态。经典处理单元根据变分参数算出目标输出态的系数，将其转换到 OAM 基，并生成相应的相位–振幅全息图。第 j 个态的全息图来自该次迭代中有效酉矩阵的第 j 列，并显示在空间光调制器（SLM）上。换言之，硬件只合成代价函数真正需要的那几列酉矩阵。
按列合成压缩参数空间
一般的 SU(d) 变换需要 d² − 1 个参数。作者改为只合成定义目标子空间的 N 个正交归一列，再通过强制正交归一补全其余各列，使矩阵保持酉性。每一列由若干双模旋转的乘积构成，其分块结构让优化器只提取与所选列相关的旋转参数。乘积之前再乘一个对角相位门，用来补偿那些否则会被未指定列吸收的相对相位。
正因如此，子空间选择性才落到实处，而不只是说法。四维情形下，完整构造使用 15 个变分参数，与 d = 4 时的 d² − 1 一致。对八维海森堡链，一般酉变换需要 63 个参数，但只瞄准三个能级时，排除与未使用子空间相关的参数后，参数数降到 55。因此变分参数的数量随目标能级数缩放，而不随完整维度缩放。
HeH+ 一次优化得到四个能级
第一个基准是用 OpenFermion–Psi4 库生成的四维 HeH+ 模型哈密顿量。在一次优化运行中，实验同时估算出完整的四能级谱。在平衡键长 R = 0.90 Å 处，15 个变分参数从任意初值出发，随着迭代推进，估算能量向理论值收敛；误差棒是 1000 次蒙特卡洛重采样得到的一个标准差。
在多个原子间距 R 上，实验标记点都跟随理论曲线，相应图的下半部分用对数坐标画出能量偏差，显示四个能级都在收敛。按文中给出的收敛判据，优化平均在 81.6 ± 10.2 次迭代后终止。论文还指出，SSVQE 可以只制备 N = 2 个正交试探态，从而只估算基态和第一激发态，参数数量也随之减少。
八维自旋链检验可扩展性
第二个基准是三个量子比特的海森堡链，具有最近邻自旋–自旋耦合 J 和沿 Z 方向的外场 B。它的希尔伯特空间是八维的，直接编码在一个 OAM 量子数位中。实验瞄准八能级谱中最低的三个能级，平均收敛需要 368 ± 57 次迭代。
比值 J/B 决定了物理图像：当 J/B ≤ 1 时，谱主要由塞曼劈裂主导，相互作用只带来小幅移动；当 J/B > 1 时，相互作用占主导，产生强关联本征态并增强能级排斥。在 J/B = 1、两种贡献相当的条件下，估算能量与理论仍吻合良好。作者把剩余偏差主要归因于所制备 OAM 模式的纯度与态保真度不足，主要来源是光学对准不理想；他们称这些是技术性而非原理性的限制，可通过改进模式制备与对准进一步缓解。
单量子数位编码的取舍
这种紧凑性有论文明确指出的代价。编码一个 n 量子比特的希尔伯特空间，需要量子数位维度 d = 2ⁿ；而当前基于 SLM 的实现一次只显示一张全息图，逐次进行投影测量。因此该架构适合高维变分本征求解器的近期演示，但可扩展的光子量子计算最终需要超越单粒子编码的扩展。
作者指出两个方向：一是把 OAM 与路径、偏振、时间 bin、频率等其他光子自由度结合，以提高可达到的维度；二是使用关联或纠缠光子对，让两个各自编码在 d 维 OAM 空间中的光子获得 d² 维希尔伯特空间。多量子数位或多粒子架构能打开更大的希尔伯特空间，但会在光子产生、控制和探测上带来新的挑战。
光子量子数位路线的适用位置
论文自身的比较对象是 SSVQE 与其他激发态方法：它不需要辅助比特参与的重叠估计，而 OAM 编码提供了很大的、原则上无界的光子希尔伯特空间，从而用有限的光子数给出紧凑的高维模拟路径。已展示的证据覆盖一个四维分子模型和一个八维自旋链，后者只瞄准八个能级中的三个。
由此得出的实际优先级是：在固定光子预算下追求子空间选择性。当只需要少数低能级时，参数数量随目标能级数变化——八维情形下是 55 而非 63——共享酉变换也消除了辅助比特开销。当目标是完整的高维谱或多粒子问题时，d = 2ⁿ 的维度要求和 SLM 的逐次测量就成为约束条件；此时论文建议的扩展方向——增加其他自由度或使用纠缠光子对——才是相关的下一步，而不是已演示的单量子数位装置。
本文引用的文献
Demonstration of subspace-search variational quantum eigensolver using photonic orbital angular momentum qudits
该工作在光子平台上用正交 OAM 量子数位态实验实现了 SSVQE，估算了四维 HeH+ 模型和八维海森堡链的激发态能量，结果与理论吻合良好。