一致性取决于边界信号可否重构
论文追问：对动态网络内部子网络做预测误差辨识，能否得到该子网络传递函数的一致估计。所提出的路径是把进入子网络的测得边界信号并入外源输入，再对扩大后的子网络套用完整网络的预测误差机制。
一致性并非自动成立。它要求每个测得边界信号中由子网络产生的分量，能够由测得历史以及时刻 k 可用的测得外源输入因果地重构。若该条件成立，边界信号就不携带关于当前子网络新息的多余信息，标准的预测误差正交性论证即可适用。
测量从子网络流向网络其余部分的每一个信号，是一个简单但充分的结构性条件，论文指出它并非必要。可重构性可能允许更小的子网络，也可以反过来把子网络扩大，直到该条件满足。
边界信息条件取代回路延迟
在标准闭环设定中，回路中的延迟是常见的充分条件：当前预测误差无法绕反馈回路传播并影响用于预测同一输出的输入。论文指出，当只测量动态网络的一部分时，这一性质并不自动成立，因为返回子网络的边界信号可能依赖于某个未被测量的子网络输出。
边界信息条件就是论文对该延迟论证的替代。它要求进入子网络的每个测得边界信号中由子网络产生的分量，可由过去测量以及时刻 k 的测得外源输入重构。在该条件下，预测器所用信息不含当前子网络新息，从而给出正交关系 E[epsilon_k x_j^T] = 0（j < k）与 E[epsilon_k rbar_j^T] = 0（j <= k）。
论文将其表述为子网络设定下所需的额外条件，超出完整网络辨识本身的要求。
四个假设使准则成为一致估计量
定理 1 指出，若边界信息条件成立且另外四个条件满足，则估计出的子网络传递函数随样本量 N 增大几乎必然收敛到真值。这四个条件是：ARMAX 模型的 A 多项式和 B 多项式互质；C 多项式在单位圆上无零点；(x_k, rbar_k) 具有足够的信息量；网络的 A 部分具有一般网络可辨识性。
证明依赖 G(q) 的严格真性，以阻止扩大后 A 部分中的当前扰动到达边界信号；并依赖 H(q) 与噪声协方差的对角性，把扩大后 A 部分与其余 B 部分中的当前扰动分离开。结合信息量与可辨识性条件，这些关系使完整网络的一致性结果可应用于扩大后的 A 部分。
论文还指出，参数化子网络传递函数的子向量几乎必然收敛到其真值，并且可能需要把 x_k 替换为其分量的适当线性无关线性组合，以满足信息量假设。
非线性预测器可减少内部测量
采用该预测误差表述的主要动机，是它允许预测器非线性依赖于子网络的开环传递函数。相比线性预测器，这类预测器在子网络内部所需的测得信号可能更少，同时仍能给出子网络参数的一致估计。
这与预测器表述对目标开环模块呈线性的局部模块方法形成对比。论文指出，此处得到的预测器可能非线性依赖于开环传递函数，因而可能要求更少的内部测量。
与方法并列陈述的一项限制是：一般而言，噪声模型无法被估计。
七模块算例区分拟合质量与参数偏差
数值算例使用一个七模块网络，估计 G1、G2 和 G3，目标子网络 A = {1,2,3}，其余模块 B = {4,5,6,7}。用于估计的测得输入信号为 (r1, r2, y6)，从 A 流向 B 且可能返回 A 的信号是 y3，它被包含在每一种测得输出的选择中。
比较了三种测量配置：只测 y3、测 (y1, y3)、测 (y1, y2, y3)。在测得信号相同时，所提出的 PEM 与直接 PEM 给出相似结果。论文陈述的主要优势是：用更少的内部测量即可恢复全部三个开环传递函数，而拟合值仅小幅下降——只测 y3 时，每个拟合值相对完整内部测量变化不到一个百分点。
各配置下的拟合值本身很接近。只测 y3 时，所提出的 PEM 给出 F1 = 56.58、F2 = 75.89、F3 = 60.36。测 (y1, y3) 时给出 57.10、75.84、60.21。测全部三个输出时给出 57.13、76.86、60.43，直接 PEM 给出相同的三个拟合值。
减少测量对参数偏差的影响大于拟合
参数统计给出的图景与拟合值不同。平方偏差从测全部三个输出时的 0.1974 升至只测 y3 时的 1.3776，参数 MSE 从 1.0475 升至 1.7539。测 (y1, y3) 的中间配置给出平方偏差 1.2648、MSE 1.5090。
经验协方差的迹则朝相反方向变化：测全部三个输出时为 0.8501，测 (y1, y3) 时为 0.2442，只测 y3 时为 0.3764。测全部三个输出的直接 PEM 的迹为 0.8717，平方偏差 0.1400，MSE 1.0117。
论文把观察到的参数偏差部分归因于目标函数的非凸性，因为收敛到局部极小值可能对其有贡献。这些统计量来自 100 次扰动实现，且使用同一组外源输入数据，因此描述的是以该激励数据为条件的变异性。
小边界分隔目标时方法才划算
论文指出，当一条小的、可测得或可重构的边界把目标 A 部分与 B 部分分隔开时，该方法最有用。否则，冗余模块的数量和优化维度可能变得很大。扩大只会把模块从 B 移入 A，并在至多纳入 B 中全部模块后终止，因此最坏情况下估计覆盖整个网络。
扩大只是为了获得那个简单结构性条件；直接验证可重构性可能允许更小的 A 部分。论文还指出，初始 A 部分可以包含多个目标模块；若只关注一个传递函数，初始 A 部分可以只包含该模块，从而把单模块辨识作为特例包含在内。
论文的未来工作指向优化问题的数值方面，以及对子网络辨识测量要求的进一步研究。
只看拟合值会低估稀疏测量的代价
本文中与决策相关的比较，不是所提出的 PEM 与直接 PEM 在拟合上的比较——在测得相同信号时二者一致，而是所提出方法内部不同测量配置之间的比较。从三个内部输出减到只测 y3，在 F1、F2、F3 上各损失不到一个百分点的拟合，却使平方参数偏差约增至七倍，参数 MSE 上升约三分之二。
对于要决定测什么的读者，论文自身的变量首先指向边界条件：若一条小的、可测得或可重构的边界把目标子网络与其余部分分隔开，该方法就能用更少的内部信号恢复全部三个开环传递函数。若该边界不小，冗余模块与优化维度都会增长，最坏情况是估计整个网络。拟合与偏差的分裂才是需要盯住的数字，因为单看拟合值会让人觉得稀疏测量几乎不付代价。
本文引用的文献
Prediction Error Method for Identification of Subnetworks of Dynamical Systems
在边界信息条件加上稳定性、延迟、扰动分离、信息量与可辨识性假设下，预测误差准则给出子网络传递函数的一致估计；并且对开环传递函数呈非线性的预测器，相比线性预测器可以用更少的内部测得信号实现这一点。