对称性与 AI 能否发现更好的魔态蒸馏工厂？

搜索在固定距离下压低输入数

魔态工厂消耗大量带噪声的输入魔态，产出数量更少、质量更高的魔态。论文把工厂写作 [[n, k, d]]：n 个输入、k 个输出、距离 d，距离是最小的、能通过全部校验却仍破坏输出的错误输入数。其宽度 N = k + r 表示它作用的逻辑线路数，其中 r 是奇偶校验的个数。

对纯 T 输出，该领域使用开销指数 γ = log(n/k) / log d。把工厂与自身级联以达到输出错误率 ϵ，每个输出需要 O(log^γ(1/ϵ)) 个输入，因此在固定输出目标和所需距离下，目标就是最小化输入数 n。这正是本文搜索压低的量，而不是完整的实现成本。

距离三归结为互不相同的伴随式

论文的核心观察是：每个输入会翻转一组校验，即它的伴随式。当没有两个输入触及相同线路时，距离至少为三等价于伴随式非零且两两不同。这把伴随式的选择（作者称之为 parent）与兼容输出门的搜索分离开来。

正是这种分离让该区间变得可处理。用三正交码的语言说，parent 张成 X 稳定子，输出行是逻辑算符。对每个 parent，枚举兼容的输出行即可确定它支持的工厂。当穷举不再可行时，改用群对称性来限制 parent 搜索。

同一个二元矩阵支撑两种读法

作者提出统一的二元矩阵表述，同时覆盖三正交码搜索和直接线路搜索。按码来读，该矩阵是一个三正交码或其推广；按线路来读，它是某个线路构造的奇偶旋转列表。论文不偏向任何一种读法，而是直接处理矩阵本身。

论文中的一个定理说明这两种读法描述的是同一个对象。两个选择在相差一个对角 Clifford 和全局相位时实现同一个门，当且仅当它们的列计数奇偶性一致；该矩阵就是规定矩为目标值的广义三正交矩阵；而解构成奇偶映射核的单个陪集。因此，从恒等式中删除得到的工厂，与三正交求解器找到的同一个工厂，是该陪集中的同一个点。

语言模型智能体提议，确定性求解器验证

搜索流程把一个提议智能体与一个精确引擎配对。提议智能体只输出几何规格：一个 k 值、一个有序的校验块列表，以及作用在每个块上的置换群。固定的执行框架把每个规格送入槽位求解器，把解展开为显式列，并用独立验证器审计。

论文报告了一次具体的搜索记录。一个针对 k = 3、块 [S3, S3, S3]、目标 CCZ、d_target = 4、上限 65 的提议被记录在案，其理由是当时记录为 66，把上限设为 65 可使解成为新纪录，而 UNSAT 则意味着该拟设内不可行。判定结果为 FEASIBLE，n = 64、d = 4、ok = True，123 秒后标记为 NEW-RECORD，其中 ok = True 表示验证器从返回的列重新推导出了门、宽度和距离。

作者还提供了包含搜索简报和搜索记录的上下文目录，读者可据此训练自己的智能体并按需定制搜索。

699 个类，其中 564 个为新发现

搜索共产生 699 个工厂类，一个类是一个四元组 (n, k, d, 输出门)，其中门在输出基的可逆变换群 GL(k, 2) 以及对角 Clifford 修正下视为等价。作者认定其中 564 个为新发现，因为它们落在已分类范围和已发表协议参数之外。新类覆盖 n = 55 到 1715，其中 320 个在 n ≤ 127。

按距离划分，目录包含 d = 3 的 493 个类、d = 4 的 88 个、d = 5 的 69 个、d = 6 的 42 个、d = 7 的 5 个、d = 8 的 1 个和 d = 9 的 1 个。对应的新发现数分别为 382、72、65、39、4、1 和 1。目录既包含纯 T 态工厂，也包含输出为 T、CS 和 CCZ 魔态组合的纠缠输出工厂。

每个类都是后选择对角 CSS 协议：三阶对角旋转、独立的 Z 错误、纯 X 型校验，以及任何非零结果都拒绝。催化协议和 Hadamard 辅助协议不属于这一类，因此论文中的所有比较都在该类之内。

每个列表距离上的指数都更低

目录中宽纯 T 一端的自然比较对象是 Haah 和 Hastings 列表给出的打孔 Reed–Muller 三正交族，它给出了距离三到七的显式码。论文在相同距离上比较了自己的结果。距离三时，参考值是 [[863, 161, 3]] 的 γ = 1.528，本工作达到 [[750, 210, 3]] 的 γ = 1.159。距离四时，[[872, 152, 4]] 为 1.260，[[429, 83, 4]] 为 1.185。距离五时，[[887, 137, 5]] 为 1.161，[[879, 145, 5]] 为 1.120。距离六时，[[912, 112, 6]] 为 1.170，[[850, 128, 6]] 为 1.057。

γ = 1.057 的 [[850, 128, 6]] 被描述为作者所知 n ≤ 1000 时显式纯 T 工厂中最低的指数，而距离六的这一项是 n ≤ 1000 时任意距离上已知最低的。γ = 0.998 的 [[1715, 287, 6]] 是已知最小的指数低于一的纯 T 工厂。

改进并不局限于最大的码。距离三时，[[127, 23, 3]] 工厂每个输出约用 5.52 个输入，而参考的 [[109, 19, 3]] 为 5.74。[[63, 11, 3]] 工厂的比值相近，为每个输出 5.73 个输入，但只消耗 63 个输入而非 109 个，其指数 γ = 1.589 是作者所知 n ≤ 100 的纯 T 工厂中最低的。

T-count 把不同输出门放到同一尺度

为把不同种类的输出放到同一尺度上，论文使用最小酉 T-count：在任意 CNOT 加 T 门线路中达到该输出门所需的最少 T 门数，由 Reed–Muller 陪集译码精确计算。该计算使用到 k = 6。纯 T^⊗k 输出的 T-count 为 k，CCZ 输出为 7，CS 输出为 3。

作者按 CNOT+T 线路计数，因为一个原生输出替代了与其 T-count 相同数量的单独蒸馏 T 态，也就是常规综合会花在该门上的态数。该指标描述的是 CNOT+T 线路内的综合成本；论文指出它并不决定工厂的完整实现成本。

论文中列出的部分工厂包括：T^⊗7 的 [[55, 7, 3]]，宽度 14；T^⊗11 的 [[63, 11, 3]]，宽度 17；T^⊗16 的 [[100, 16, 3]]，宽度 23；T^⊗23 的 [[127, 23, 3]]，宽度 30；T^⊗128 的 [[850, 128, 6]]，宽度 166；CS^⊗3 的 [[63, 6, 3]]，宽度 12；CCZ^⊗2 的 [[63, 6, 3]]，宽度 12；CCZ^⊗4 的 [[100, 12, 4]]，宽度 20。所列每个工厂在其输出和所述距离上，都是作者所知后选择对角 CSS 协议中输入数最小的。

比较只在明确定义的类别内成立

具有横向 T 门的码可以达到 γ → 0，但只在块长增长时成立，论文指出它们在机器可负担的长度上的表现尚未确立。因此作者只比较 n ≤ 1000 的显式构造。催化协议和 Hadamard 辅助协议不属于后选择对角 CSS 类，可能达到目录之外的参数，所以上述比较都在该类之内。

有些条目给出的是已证明的下界而非实测距离：写作 ≥ d 的距离是已证明的下界。九个输出多项式有数十到数千个因子，最大为 3587，这些行记录的是因子数而非精确最小化，门本身在数据库中。T-count 指标也限于 k = 6，超出该精确最小化范围的过宽纠缠输出在图中被如此标注。

论文还说明其条目是通过把参考文献 [31, 65] 的框架与附录 B 的打孔搜索相结合而得到的，并且它报告的每个工厂都是公开数据库中可用的显式线路。

n ≤ 1000 的显式构造边界才是真正的筛选条件

对想从这项工作中取用的读者来说，决定性的分界不是类总数，而是作者自己使用的边界：n ≤ 1000 的显式构造，并在匹配距离上与打孔 Reed–Muller 表比较。在该边界内，论文的主张是它的搜索在表中每个距离上都达到更低的开销指数，且 γ = 1.057 的 [[850, 128, 6]] 是 n ≤ 1000 时已知最低的显式纯 T 工厂。

第二个分界是规模。如果约束是较小的输入预算，相关条目是 γ = 1.589 的 [[63, 11, 3]]，即作者所知 n ≤ 100 的纯 T 工厂中最低的指数。如果约束是跨过 γ = 1，相关条目是 γ = 0.998 的 [[1715, 287, 6]]，即已知最小的指数低于一的纯 T 工厂。读者应从这份目录中带走的，是这两个阈值，而不是 699 个类的总量。

本文引用的文献