SWORD传播半个旋量而不近似哈密顿量
论文对标题问题的回答是结构性的，而非近似性的。在Weyl表示下，动能算符位于哈密顿量的对角块中，非对角耦合只是标量质量项mc^2。这种安排使作者能够写出狄拉克旋量两个手性分量之间的精确关系，因此四分量问题是被重新组织，而不是被一个近似的双分量哈密顿量所取代。
实际结果是只显式传播一种手性。相反的手性由精确耦合关系自洽重构。作者强调这不是能量解耦近似：不出现逆势算符，这正是SWORD区别于传统双分量约化的特征。
被传播的手性满足非齐次Helmholtz方程
从耦合的Weyl方程中消去右手分量后，左手方程变为Helmholtz型微分算符，其屏蔽参数为mu^2 = (m^2 c^4 - E^2)/c^2。形式逆通过与该Helmholtz格林函数核exp(-mu r)/(4 pi r)做卷积来施加，而这正是多小波框架擅长执行的操作。
对于静态外势，对易子项简化为i c (sigma . grad V) psi，得到最终的迭代更新式，其结构与单电子薛定谔方程的积分形式相似，区别在于它是双分量方程，且右端依赖能量。将总能量写为E = mc^2 + epsilon可看出，所有相对论修正在c -> infinity极限下消失，回到通常的非相对论方程。
变分坍缩仅在一电子库仑情形下被消除
对于处在均匀球对称库仑势中的单个电子，作者通过r -> (1 + E/mc^2) r重新标度坐标。这消除了能量依赖，并产生一个双分量哈密顿量H_w，其谱有下界：狄拉克哈密顿量的正能连续谱和负能连续谱映射到它的正谱，束缚态映射到它的离散负谱。由于物理相关的束缚态位于谱的有下界部分，可以应用普通变分极小化而不发生变分坍缩。
作者明确指出，这一论证不能推广到N电子情形。坐标变换依赖于库仑势的均匀性，而多电子有效算符J和K并不均匀，且K还是非局域的。因此，将V = V_ne + J - K代入变换后的哈密顿量，并不能得到具有相同谱性质的等价Fock型算符。
精度在一、二、四电子体系上逐步检验
数值评估逐步加入Dirac-Hartree-Fock要素。一电子体系（H、Ne9+、Kr35+、Xe53+、Hg79+）在固定外势中单独检验格林函数传播和相反手性的重构。二电子闭壳层体系引入自洽库仑平均场。四电子闭壳层体系加入非局域Hartree-Fock交换算符，给出第一个包含当前Dirac-Coulomb实现全部要素的基准。
所有计算均使用VAMPyR Python库和自适应多小波表示，原子单位下c = 137.03599913900001，电子-电子相互作用限于Dirac-Coulomb哈密顿量，不包含Breit或其他非瞬时修正。SWORD与参考四分量实现共享相同的SCF流程、相同的非相对论起始轨道和相同的收敛判据，因此比较隔离出用传播加重构替代四分量传播所带来的影响。
在所测试的精度范围内（一电子为MW5-MW8，二电子为MW4-MW7），随着多小波阈值收紧，两种表述都系统性地趋近参考能量，且SWORD保持在所施加数值阈值预期的精度之内。能量既与匹配设置下的四分量多小波实现比较，也与使用相应核模型的独立GRASP参考计算比较；氢还作为点库仑对照情形。
传播成本下降，但总SCF墙钟时间并未同步
一电子计算最清楚地显示了传播量的减少：生产SCF阶段大约快一倍，这与传播的旋量分量减半一致，而相反手性的重构只占更新成本的一小部分。计入设置和共同的预热过程后，总墙钟时间增益会减小，但仍然可观。
二电子基准标志着不同的情形。传播成本的降低仍然存在，但一旦必须重建并施加自洽势，总体增益就大幅缩小，因为格林函数传播之外的操作对SWORD轨道可能变得更昂贵。在四电子计算中，包含重构在内的完整SWORD更新平均约为相应四分量传播时间的73.3%。这是明显的降低，但仍高于显式传播分量数目所暗示的理想50%极限。
作者将差距归因于原型设计：在完整旋量被重构后，大量现有四分量机制被复用，因此势的求值和Fock矩阵构建尚未利用约化表示。他们将这些计时呈现为该原型的性能，而不是该表述的计算极限。
对导数敏感的起始猜测需要低精度预热
微分会强调数值函数的短波分量，因此对轨道本身可忽略的小尺度伪影在微分后可能变得可见，并在自适应多小波表示中触发额外的局部细化。这直接关系到SWORD，因为相反手性是通过包含动量算符作用于被传播左手分量的表达式重构的，每次重构都会暴露数值结构。
这种敏感性随核电荷增加而增强，因为核心轨道更加局域化并携带更大的动量分量，而动能平衡Weyl猜测中的动量相关修正相对于主导非相对论项也变得越来越重要。在所报告的计算中，一次简短、刻意低精度的四分量预热足以在轨道进入任一生产算法之前抑制这些精细尺度特征，并且同一组平滑轨道初始化了四分量和SWORD运行。作者将此描述为与直接在高精度下启动导数敏感自适应计算相关的实现问题，与多小波SCF工作中常见的动态精度策略一致，而不是SWORD的内在局限。
结果证明想法可行，而非优化替代方案
在所有三个基准层级上，SWORD都在要求的数值精度内重现了相应的四分量Dirac-Coulomb Hartree-Fock能量，且两种表述与独立GRASP参考一致。作者明确表示，这些结果并未确立SWORD是现有相对论方法的优化替代方案；它们确立的是底层计算思想可行。
因此，阅读这篇论文最有用的方式是区分已经证明的内容和仍然开放的问题。已证明：精确的Weyl基耦合关系、单一手性的Helmholtz形式传播，以及所测试的小型闭壳层体系与四分量Dirac-Coulomb Hartree-Fock的能量一致。开放：传播成本的形式化降低能否在更大且化学相关的体系中保持，以及剩余SCF开销中有多少可以围绕约化表示重新表述。作者指出，具有动态精度控制和优化底层操作的生产级多小波环境（如MRChem）是回答这一问题的自然下一步。
本文引用的文献
Spinorial Weyl Operator Reduction of Dirac (SWORD): Exact Relativistic Quantum Chemistry with Half the Spinor
在Weyl表示下对狄拉克方程进行精确双分量重写，只传播一种手性，并通过精确耦合关系重构另一种手性，在要求的多小波精度内重现一、二、四电子闭壳层体系的四分量Dirac-Coulomb Hartree-Fock能量，同时降低格林函数传播成本。