Laguerre 镶嵌生成元的经验过程是否满足泛函中心极限定理？

两个过程，一个计数，一个体积加权

论文研究仅建立在真正可从镶嵌数据中观测到的生成元之上的经验统计量。生成元 x = (v, h) 被称为极端生成元，当其空间位置 v 位于自身 Laguerre 胞 C(x; φ) 内；等价地，没有竞争点落在以 x 为顶点的向下抛物面下方的区域 D(x) 内。空胞的生成元，或位置被其他胞吞没的生成元，都被排除在外，因为它们对镶嵌没有可直接观测的贡献。

随后在增长的凸窗口 W_n = nW 上定义两个泛函。未加权统计量 G_n(z) 计数窗口中标记不超过给定水平 z 的极端生成元。体积加权统计量 G_V_n(z) 对这些相同极端生成元的胞的 Lebesgue 体积 |C(X_i; P)| 求和。让 z 变化使每个统计量成为以标记水平为指标的经验过程，因此这两个对象回答不同的问题：到某个标记阈值为止出现多少可观测极端生成元，以及它们总共占据多少胞体积。

论文以观测稳定性来论证加权版本。在未加权计数下，Laguerre 胞极小的极端点与胞很大的极端点贡献完全相同，尽管小胞通常更容易受到几何扰动的影响。体积加权泛函则通过给胞更大的生成元赋予更大权重，来强调几何上稳定的极端点。

空胞使标记分布只能部分被观测

在 Poisson-Laguerre 模型中，生成元构成 R^d 上的齐次 Poisson 过程，其独立实值标记服从共同分布 F，标记 h 在 Laguerre 距离 L(x, u) = ||v − u||^2 + h 中充当垂直平移，因此较小的标记具有竞争优势。与 Voronoi 情形不同，生成元可能最终拥有空胞，即使在非空胞的生成元中，生成元位置也未必位于自身胞内。

这正是论文将注意力限制在极端生成元上的原因。此前针对 F 的非参数估计量建立在可观测生成元和胞几何之上，其中一个正是基于包含在自身胞内的生成元。本文所问的是，基于这些可观测生成元的经验统计量随观测窗口增大如何波动，而不是如何估计 F 本身。

几何上的困难在于，标记足够负的生成元可以在远离其空间位置处影响镶嵌。因此标记分布的下尾进入依赖性估计，且不能假设指数局部化。这是结果在 H_− = max(0, −H) 的矩条件下而非轻尾假设下陈述的技术原因。

泛函中心极限定理在标记分布有界密度处成立

核心结果，即定理 2.4，在标记分布 F 具有有界密度的紧区间上证明了泛函中心极限定理。经中心化并除以窗口体积 |W_n| 的平方根后，每个经验过程依 Skorokhod 拓扑收敛到中心化高斯过程。收敛由观测窗口的增长驱动，而非由标记分布的任何变化驱动。

矩假设被明确陈述，并设计为允许重尾标记。镶嵌本身的存在性要求 E[H_−^{d/2}] < ∞，这保证 Poisson 输入生成一个镶嵌。更强的假设仅在需要定量速率处施加。

证明策略将两项任务分开。标记水平短区间上的增量通过协方差和四阶累积量界加以控制，随后建立紧性以完成泛函极限定理。论文指出，在此设定下增量估计必须同时容纳标记分布造成的依赖性和胞体积给出的无界权重。

协方差核带有表面阶误差

定理 2.2 识别了高斯过程的极限协方差核，并建立了带有表面阶误差的协方差渐近。这些核描述了不同标记水平处高斯波动之间的依赖性，这正是泛函极限定理区别于单水平中心极限定理之处。

表面阶误差项是这一结果的定量内容：协方差渐近不仅仅按窗口体积的主阶陈述，而是带有显式的表面阶误差。对于将此与固定水平结果比较的读者，这一区别很重要，因为固定水平中心极限定理对两个不同水平处的波动如何协变一无所知。

体积加权情形在此要复杂得多。与 G_V_n(z) 相关的得分函数依赖于 Laguerre 胞的体积，而该体积可能受局部区域 D(x) 之外的点影响。为处理这一点，论文使用了覆盖时间，它量化了必须查看 D(x) 之外多远才能确定 x 的 Laguerre 胞。

覆盖时间界定胞能延伸多远

覆盖时间 T(x; φ) 定义为增长晶体 C_t(x; φ) 达到其最终形状 C(x; φ) 的最小 t，当胞为空时 T(x; φ) = −∞。论文表明 C_t(x; φ) 等于 C(x; φ) 与以 v 为中心、半径为 sqrt(t − h) 的球的交集，因此覆盖时间恰好等于 h 加上从 v 到胞内某点的最大距离的平方。

命题 3.3 给出了覆盖时间的指数尾界，且在该点为极端生成元的事件上一致成立。对于 t > h，该界取多项式前因子乘以 exp(−2^{−d} Q((h + t)/2)) 的形式，其中 Q(h) = κ_d E[(h − H)_+^{d/2}] 是区域 D(v, h) 的 Q 测度。选择网参数与 sqrt(t − h) 成比例可平衡多项式前因子与指数衰减。

推论 3.5 将这些尾界转化为超出覆盖时间的矩界，引理 3.6 给出对于 h ≤ z，E[1{x 为极端} |C(x; P)|^{4+p}] ≤ C(1 + (z − h)_+^{(4+p)d/2})。这些估计正是使体积加权贡献得以局部化的关键，也是后续加权过程所需的关键输入。

单变量界按窗口体积的逆平方根衰减

定理 2.1 给出了非渐近单变量正态逼近界。对于未加权统计量，假设 E[H_−^{3d}] < ∞，标准化统计量与标准正态之间的 d_* = max(d_W, d_K) 距离为 O(|W_n|^{−1/2})。对于体积加权统计量，假设为对某个 m_0 > 11d/2 有 E[H_−^{m_0}] < ∞，再加上 F 不是 Dirac 测度的要求，同样的 O(|W_n|^{−1/2}) 速率成立。

这两个距离度量不同的事物，不应混淆。Wasserstein 距离 d_W 使用 Lipschitz-1 函数类，而 Kolmogorov 距离 d_K 使用半直线的指示函数。论文报告两者的最大值，因此所述速率同时在两种意义下成立。

定理 2.3 将此扩展到多变量正态逼近，使用在二阶和三阶导数有界于 1 的 C^3 函数上定义的 d_3 距离。论文指出，相同的几何估计进入多变量 Poisson 正态逼近界，且在所述非退化假设下，单变量界在 Wasserstein 和 Kolmogorov 距离下均按窗口体积的逆平方根衰减。

有界密度与二维及以上维度

泛函中心极限定理在标记分布具有有界密度的紧区间上得到证明。这是对所覆盖水平集的真实限制，它与矩假设并存而非取代矩假设。协方差渐近和定量逼近结果带有各自陈述的假设，包括非退化条件，以及对于加权单变量界，要求 F 不是 Dirac 测度。

论文通篇假设 d ≥ 2。d = 1 的情形也可以用相同方法考虑，但速率需要一些情形区分，作者指出从应用角度看 d = 1 不太有趣，因此不予处理。因此在一维中工作的读者不应将所述速率视为可直接迁移。

结果在增长的凸窗口 W_n = nW 下是渐近的，其中 W 是包含原点在其内部的紧凸体。O 记号中的常数可能依赖于 d、F、z 和 I 等固定参数，但不依赖于 n。论文还指出，此前关于 Laguerre 镶嵌高斯逼近的最接近结果涉及 β-、β′- 和高斯-Voronoi 模型中非空胞生成元的计数，而此处可观测量选择包含在自身胞内的生成元，并保留其标记作为指标参数。

当胞大小重要时选择加权过程

论文自身的比较指向一个实用优先级。如果问题是低于某个标记水平的可观测极端生成元有多少，则未加权过程 G_n(z) 是相关对象，其单变量高斯逼近仅要求 E[H_−^{3d}] < ∞。如果问题是这些生成元占据多少镶嵌体积，则体积加权过程 G_V_n(z) 是相关对象，但它要求更强的矩条件，即对某个 m_0 > 11d/2 有 E[H_−^{m_0}] < ∞，再加上 F 不是 Dirac 测度的要求。

这一假设差距是论文最具决策相关性的区别。加权泛函是那个降低几何上脆弱的小胞权重的泛函，这正是它需要额外控制的原因：生成元的贡献依赖于其整个胞，因此分析必须通过覆盖时间尾界和矩估计来局部化贡献。未加权计数避开了这套机制，但仍对小胞造成的观测噪声敏感。

对于决定调用哪个波动结果的读者，阈值因此不是窗口大小，而是标记分布的尾部与加权选择。两种情形都允许重尾标记，但加权过程以更高的矩要求和 F 的非退化条件为代价换取这种一般性。当标记分布在所关注的区间上具有有界密度且相关矩条件成立时，两个过程都收敛到具有已识别协方差核和表面阶协方差误差的中心化高斯过程。

本文引用的文献