不可加意味着拷贝不再带来帮助
可加性意味着制备若干份拷贝所需的纠缠，等于单份拷贝成本乘以拷贝数；也意味着跨多个信道使用进行联合编码无法优于逐次单独编码。本文表明，在一个特定的费米子设定中这两个说法都不成立：该设定是一个双模高斯态 τ，Alice 与 Bob 各持一个模，态按正则反对易关系组合，并受宇称超选择约束。
精确结果为 E_F^phys(τ^⊗m) = ⌈m/2⌉ log 2，对每个 m ≥ 1 成立。单份拷贝的值为 log 2，正则化后的值为 (log 2)/2。由于两份拷贝给出 ⌈2/2⌉ log 2 = log 2，与一份拷贝相同，可加性失效；又因为两份拷贝的值低于单份拷贝值的两倍，强超可加性也失效。论文对高斯受限的凸顶 E_F^fG 证明了相同的值，因此把分解限制为高斯态并不会提高成本。
宇称超选择改变拷贝的组合方式
宇称超选择禁止孤立模中真空与占据的相干叠加，但允许不同模上的奇算符之间存在关联，因为它们的乘积是偶的。这一区别是操作性的：仅描述孤立模，并不能确定作用在不同模上全局偶的奇算符乘积上的行为。
这里的组合是费米子乘积，而不是普通的量子比特张量幂。按方重新组合模会带来依赖占据数的符号，因此在任意交错排序下做矩阵偏迹未必代表物理上的限制。论文中的信道抹去所有物理单模信号，却保留跨次使用之间的关联，而正是这些被保留的 Majorana 模同时支撑了经典码和无噪声逻辑量子寄存器。
对称性界确定了纠缠生成成本
上界来自一个显式系综。该构造固定了相关联的 Majorana 对，并尽可能在局域上匹配其余的 Majorana 模，然后对自由对上的符号取平均，以重现完整的密度算符。
下界并不假设分解态是高斯态。对于同一支撑上的任意物理纯态，其边缘态与 m+1 个反交换的厄米酉算符对易。这些对称性迫使每个边缘态本征值至少出现 2^⌈m/2⌉ 次，从而给出熵的下界。另一个协方差秩论证先确立了高斯分解中的最优性，两者结合便给出了物理凸顶与高斯凸顶的精确值。
一次使用不传信息，两次使用传一比特
一个高斯等距把输入向量映射到 τ 的支撑上；对其中一个输出取迹便定义了一个信道 N，其纠缠熵变为输出熵。同样的谱论证给出 S_min^phys(N^⊗m) = ⌈m/2⌉ log 2 与 χ^phys(N^⊗m) = ⌊m/2⌋ log 2，因此极小输出熵与 Holevo 信息都不可加。
操作层面的后果很明确。一次物理使用不携带任何经典信息，而两次使用可以完美传输一比特。无辅助的经典容量与零误差经典容量都等于每模半比特，并且一个紧的有限分组界给出强逆定理：在高于容量的任何速率下，解码成功概率都趋于零。一个显式高斯码具有正交输出，达到 Holevo 量，并以零误差实现每模半比特。
量子容量同样落在半个量子比特
信道保留的关联也携带量子信息。在固定总宇称子空间中计数逻辑量子比特，且不提供共享纠缠时，m 次使用所能精确传输的最大逻辑寄存器维数为 2^q_m，其中 q_m = max{0, ⌊(m−1)/2⌋}。任何传输 D 维寄存器的物理编码器与解码器都满足 F_e ≤ min{1, 2^q_m / D}。
因此，无辅助的量子容量与零误差量子容量都等于每模半个逻辑量子比特，而高于该值的速率下纠缠保真度趋于零。论文将此归因于物理输出代数：完整的逻辑矩阵代数，加上最大混合的重数子系统，并在偶数分组长度时附加一个经典扇区标签。这一结构同时解释了精确量子码及其强逆定理。
噪声下不可加性仍在，贝尔违背需三份拷贝
纠缠生成的结果在噪声下依然成立。对于族 τ_t = (1 − i t γ2 γ3)/4，其中 0 ≤ t ≤ 1，论文确定了单份与两份拷贝的纠缠生成值，并证明对每个 t > 0 都存在严格不可加性，包括满秩区间 0 < t < 1。在满秩时，纯态支撑论证不再可用；取而代之的是一个局域高斯变换，把问题约化为每方一个活跃模的态，加上无关联的局域模，而后者的凸顶贡献可以被精确移除。
贝尔非局域性出现的拷贝数与不可加性不同。在局域保宇称测量下，τ 的一份或两份拷贝无法违背任何贝尔不等式，而三份拷贝可达到最大量子 CHSH 值 2√2。论文指出，这纠正了此前工作中一个多拷贝论断，该论断的论证使用了普通量子比特张量幂，而非费米子乘积。
精确答案止于可解例子
纠缠生成与极小输出熵的公式对每个 Rényi 阶 α ∈ (0, ∞] 都成立，且这些优化覆盖所有物理纯态分解与信道输入，高斯系综与经典码达到最优。论文还指出，其证明直接处理费米子信道，而没有借助一般等价定理的费米子推广。
边界在于含噪族。对于 τ_t，单份与两份拷贝的纠缠生成值是精确的，但多份拷贝的值及其正则化仍未解决；确定它们将揭示最优集体制备在偏离 τ 时如何变化。附录中的 Pfaffian 约束给出了高斯凸顶的一个有限表述，论文将这一表述能否为更大系统提供有用的近似方法列为下一步工作。
先比较拷贝数，再比较容量
对于这个态和信道，最具决策相关性的比较不是经典容量与量子容量之间的比较——它们都等于每模半个——而是拷贝数之间的比较。纠缠生成值从一份到两份保持不变，Holevo 信息在一次使用时为零、渐近为每模半比特，而贝尔违背只在三份拷贝时才出现。因此，评估费米子高斯设定中集体效应的读者，应当追踪每个量发生变化的那个分组长度，而不是假设所有集体优势都出现在相同的拷贝数上。
论文自身的表述支持这一优先级：高斯设定中的集体资源操控是独特的，在某些方面甚至是奇特的，而这里的精确答案来自一个单一的可解例子，其含噪推广只被部分解决。值得关注的实用阈值是某个声称的优势首次出现的拷贝数，因为对于 τ，答案在一份、两份和三份拷贝时各不相同。
本文引用的文献
Nonadditivity in fermionic quantum Shannon theory
对于宇称超选择下的双模费米子高斯态 τ，E_F^phys(τ^⊗m) = ⌈m/2⌉ log 2 对每个 m ≥ 1 成立，因此两份拷贝等于一份拷贝，可加性与强超可加性都失效；相应的费米子高斯信道的极小输出熵与 Holevo 信息不可加，其经典容量与零误差经典容量为每模半比特，量子容量与零误差量子容量为每模半个逻辑量子比特，且各自都有强逆定理。