del Pezzo 轨形为边界附加权重
del Pezzo 轨形是一个 Campana 轨形 (X, Δ_ε)，其中 X 是光滑 del Pezzo 曲面，且 Q-除子 −(K_X + Δ_ε) 丰沛。边界 Δ 是约化严格正规交叉除子，其不可约分支为 D_1, …, D_r，每个分支带有重数 m_i ≥ 2 和权重 ε_i = 1 − 1/m_i，因此 Δ_ε = Σ ε_i D_i。轨形的次数是底曲面的次数 d = K_X²，而不是边界分支的个数。
当 r = 1 时边界称为不可约，当 r ≥ 2 时称为可约。作者此前的工作处理了不可约情形；本文处理互补的可约情形，两者合起来完成了次数至多 5 的分类。由于每个权重都满足 ε_i ≥ 1/2，本文记录了一个必要条件：−(K_X + ½Δ) 必须是 nef，其中 Δ 是约化边界。
可约边界带来新的重数约束
边界不可约时，唯一需要选择的权重就是单个分支的重数。当有多个分支时，权重会通过与多个分支相交的 (−1)-曲线相互作用，从而对重数产生在不可约情形中没有对应物的算术约束。本文的例 1.3 在光滑三次曲面上具体展示了这种相互作用：对于三条共面直线 ℓ_1, ℓ_2, ℓ_3，且 ℓ_1 + ℓ_2 + ℓ_3 属于 |−K_X|，该对是 del Pezzo 轨形当且仅当 1/m_1, 1/m_2, 1/m_3 满足严格三角不等式。
该例还表明，可允许的重数向量在降低重数下并不封闭：(3, 4, 11) 可允许，而 (2, 4, 11) 不可允许。第二个区别是严格正规交叉条件不再自动成立，因此答案可能取决于 X 在其模空间中的位置。对于三条共面直线，除子是 SNC 恰好当这些直线不共点，即它们不在 X 的 Eckardt 点相交。
约化边界的反典范次数至多为 2d−1
一个简短的观察限定了搜索范围。由于 −K_X 和 −(K_X + Δ_ε) 都丰沛，它们的相交数为正，即 Σ ε_i (−K_X · D_i) < d。由 ε_i ≥ 1/2 且对每个分支 −K_X · D_i ≥ 1，约化边界满足 −K_X · Δ ≤ 2d − 1，特别地 r ≤ 2d − 1。因此对每个固定次数，底对 (X, Δ) 构成有界族，尽管重数本身不必有界。
这一界使得逐情形分类可行。对每个 d ∈ {1, 2, 3, 4, 5}，本文确定三件事：哪些曲线可以作为分支，通过低反典范次数曲线的分类来描述；边界的可能构型，由分支的类及其相互相交数记录；以及对于每种构型，使 −(K_X + Δ_ε) 丰沛的所有重数选择 m_i ≥ 2 的集合。
次数 1 时只剩两个反典范成员
对于次数为 1 的 del Pezzo 曲面 S，本文首先记录每种可能的分支类型如何与 (−1)-曲线相交。作为 (−1)-曲线的分支自交数为 −1，与 56 条 (−1)-曲线不相交，与 126 条交于一点，与 56 条交于两点，并且恰好与一条 (−1)-曲线的相交数为 3。反典范类 |−K_S| 的成员与每条 (−1)-曲线相交一次。二次纤维化的光滑纤维有 14 条 (−1)-曲线相交数为 0，64 条为 1，84 条为 2，64 条为 3，14 条为 4。
定理 2.1 随后指出，−(K_S + Δ_ε) 是 nef 当且仅当 Δ_ε = ½D_1 + ½D_2，其中 D_1 和 D_2 都是反典范类 |−K_S| 的成员。证明通过展示与第二个分支相交数至少为 2 的 (−1)-曲线来排除其他可能：(−1)-曲线、光滑二次纤维或 |−2K_S| 的成员各自都允许这样的曲线，而从次数 2 del Pezzo 曲面拉回的反典范成员则允许多于一条。二次纤维分支被直接排除，因为有 78 条 (−1)-曲线与其相交数至少为 3。
次数 4 有五种轨形类型但有 106 条 nef 约化曲线
对于次数为 4 的光滑 del Pezzo 曲面 S，本文固定一个到 P² 的双有理态射，收缩互不相交的 (−1)-曲线 E_1, …, E_5，其中 H 是直线类的拉回，且 −K_S = 3H − E_1 − ⋯ − E_5。十六条 (−1)-曲线称为直线，它们是 E_i、L_ij = H − E_i − E_j 以及 L_0 = 2H − E_12345。相交数为 1 的两条直线称为相邻，阶为 1920 的 Weyl 群 W(D_5) 作用在直线上，作为其相交图（Clebsch 图）的全自同构群。
定理 5.3 分类了所有 r ≥ 2 的 del Pezzo 轨形：只有五种类型，并且对每种类型确定了可允许的权重。另外，定理 5.6 列出了所有 r ≥ 2 个分支且使 −(K_S + ½D) 为 nef 的约化曲线 D，共有 106 种类型。这两个计数回答不同的问题：5 是对数反典范除子丰沛的轨形类型数，而 106 计数的是在统一权重 ½ 下仅通过较弱 nef 检验的约化边界。本文指出，这 106 种类型来自按最大次数分支组织的逐情形分析。
次数 5 给出十个边界轨道及显式权重不等式
对于五次 del Pezzo 曲面，自同构群是 S_5，本文在该作用的意义下工作。表 8 列出了反典范次数至多 9 的不可约曲线类的 23 个 S_5-轨道，标记为 T1 到 T23，并给出每个代表的反典范次数、自交数、算术亏格以及与十条直线的相交剖面。表 9 随后列出了 r ≥ 2 且允许权重使 −(K_S + Δ_ε) 丰沛的边界 D = D_1 + ⋯ + D_r，给出十个轨道。
表 9 的最后一列只记录对权重在 [½, 1) 中不自动成立的丰沛条件。若干条目完全没有条件，用匕首标记，意味着每个分支 m_i = 2 都可允许；这些包括两个分支的情形 E_1 与 H − E_1 − E_4，以及 E_1 与 H − E_1。其他条目带有真正的不等式，例如对 E_1 与 3H − 2E_1 − E_2 − E_3 − E_4 这一对，−ε_1 + 2ε_2 < 1，或者对三条直线 E_1, E_2, H − E_1 − E_2，ε_1 + ε_2 − ε_3 < 1。该列还报告每个轨道中类重集的个数，范围从 5 到 30。
Python 交叉验证独立复现十个轨道
次数 5 的结果由 Python 3 脚本验证，这些脚本独立于前面章节证明定理 6.6，仅使用本文的引理 6.3、6.4 和注 6.1。第一个脚本构建 Pic(S)、十条直线和 Weyl 群 W(A_4)，检查其阶为 120 且保持 K_S 和直线。然后它列出次数至多 9 且为直线、二次类或自交数为正的 nef 类的所有类，找到 23 个轨道中的 346 个类。
第二个脚本检查总次数至多 9 且至少有两个成员的所有 92,602 个重集，在所有权重上运行 Fourier-Motzkin 消元，得到同样的十个轨道，没有未解决的情形。作者声明这些脚本由 Claude Opus 5 和 5.5 生成，用于交叉验证、组织表格和校对，而编写程序的想法和正确性的责任属于作者。分类本身是关于哪些边界和权重存在的陈述；它本身并不建立 Campana 有理连通性或引言中与这些轨形相关的算术猜想。
决定性的分界是可约与不可约，而非仅看次数
本文的贡献是一项补全，而补全具体针对可约性。对于次数至多 5，不可约情形此前已解决；本文提供可约情形，因此两者合起来覆盖所有次数至多 5 的 del Pezzo 轨形。因此，比较轨形的读者应把边界分支数作为主轴，因为新约束正来自这里：不同分支的重数通过与多个分支相交的 (−1)-曲线相互作用，而 SNC 条件可能取决于 X 在其模空间中的位置。
本文内部最具决策相关性的区分是定理 5.3 的五种次数 4 轨形类型与定理 5.6 的 106 条约化曲线之间的区分，以及表 9 的十个次数 5 边界轨道与表 8 的 23 个曲线轨道之间的区分。这些配对在不同条件下计数不同对象，而表 9 中的权重不等式才是真正决定给定重数向量是否可允许的部分。当某个构型没有列出条件时，所有分支 m_i = 2 已经足够；当列出不等式时，降低重数可能使构型移出可允许集合，正如 (3, 4, 11) 与 (2, 4, 11) 的例子所示。
本文引用的文献
Classification of low degree del Pezzo orbifolds II
次数低于 6 的 del Pezzo 轨形按 Campana 意义下的边界分支被分类，补全了此前对不可约边界的分类。