可认证容许本构算子如何模拟复合材料壳的相场断裂？

可替换算子取代单一固定应变能

纤维增强壳断裂的常规相场模型针对单一闭式应变能建立。应力、一致切线以及平面应力凝聚都只针对该表达式推导和验证，因此更换应变能就意味着重新推导并重新验证每一项。论文把这一障碍视为结构性问题而非计算问题，并将本构关系移入一个可替换算子。

该算子位于八阶段公式的第 4 阶段。第 1-3 阶段把几何精确的 Reissner-Mindlin 壳运动学推进到 Green-Lagrange 应变、其 Cholesky 拉回以及不变量基。第 5-8 阶段处理裂纹驱动力、通道退化、正则化泛函的组装与求解。这些下游阶段与第 4 阶段所安放的表示无关，因此闭式表示与学习表示通过同一道准入闸门。

精确闭合恒等式使通道划分成为基变换

应变经参考度量的 Cholesky 因子归一化，并在四个相互正交且闭合恒等式精确成立的不变量上展开。由于该恒等式精确成立，把应变能拆分为纤维通道、纤维间通道与纤维-横向相互作用通道是基变换而非建模假设。三个通道势成为唯一的材料输入，下游一切内容都用这些势及其导数表示。

在曲面中面上，度量、其 Cholesky 因子与纤维方向通过移位算子 I - zeta b 沿厚度变化，不变量继承这种依赖关系。因此该基既定义在平面中面上，也定义在曲面中面上，其坐标图不变性在数值研究中得到认证。纤维-横向相互作用能只存储一次，并由它所耦合机制的场之积退化，因此耦合既出现在残差中，也出现在 Hessian 中。

六个条件界定哪些算子容许

容许性在定义 A.1 中表述为六个条件。在这些条件内，两个线性不变量被直接证明关于变形梯度是凸的。两个二次不变量的相应命题仍悬而未决，改由逐点证书来承担，因此并未在解析意义上声称整个算子是凸的。

另有两个性质被证明在更换表示后依然成立。切线的几何部分非零且与材料切线无关，因此即使算子是学习得到的，K = K_mat + K_geo 仍需要两项同时存在。并且只要残余刚度为正，平面应力凝聚就保持正则。由于平面应力施加是在每个求积点上执行的本构操作，其正则性是应变能的性质而非单元的性质。

三层协议区分代数、求解器状态与训练数据

A 层认证代数。它用第一变分与第二变分在所有分块上检验残差与切线，并采用一个省略几何切线的对照。当有限差分探针的扰动越过 Macaulay 分裂引入的两个切换面之一时，探针被标记而非计为失败。

B 层认证求解器状态。已接受平衡残差是在主动集方法所最小化的互补对象上测量，而非在普通驻点性上测量；主动集在分类-重置-求解循环后必须保持不变；组装切线的正定性在已接受状态上由移位惯性计数判定。由于该计数是局部且依赖状态的信号，在极限状态附近可能合理地失败，因此报告的是整数计数而非仅报告结论。

C 层认证学习。一个本构状态只有在该状态同时通过 A 层与 B 层时才能进入训练集。这是对数据可检验的容许性判据，与底层规律是解析的还是学习得到的无关。

带缺口 IM7/8552 壳先验证离散再解读断裂

数值研究按顺序排列，使每一项只依赖其前面的内容。单边缺口拉伸试件为 36 x 72 mm，壳厚 1 mm，中高处缺口 a0 = 9 mm；底部一排节点固定全部三个位移分量并放开转动，顶边施加给定位移。纤维方向从水平方向起在 theta = 0、30、60 和 90 度之间扫描，因此 theta = 90 度时纤维平行于加载方向。夹持弯曲试件与板尺寸相同，缺口距夹持边 6 mm，在端部受面外加载。

材料为 IM7/8552，属性表把实测单层常数与由它们导出的不变量系数分开列出，因为算子消耗的是后者。导出它们的关系式与表格一并印出，以便从数据表到不变量基的映射可以复现。纤维韧度超过纤维间韧度达 1630 倍，这一比值决定了研究中报告的取向依赖性。

第 7.3 与 7.4 节在任何用其计算的量被解读之前，先在薄壁与曲面几何下验证离散本身。薄极限研究考察 Pi/t^3 及其在细化下的离散度，以逐单元基下的转动作为对照。曲面几何链条对照平面极限与坐标图不变性检验，以伪造几何与植入度量作为对照。只有通过这些检验之后，后续研究才使用经认证的模型考察纤维方向、界面场与曲率如何控制断裂。

纤维方向决定损伤包络与承载能力

带缺口壳的研究表明，纤维方向决定损伤包络与承载能力。取向扫描以匹配的峰值载荷状态作为对照，因此比较是在共同载荷水平上进行，而非在各求解各自的终点进行。机制竞争研究以植入缺口基线为对照，考察承载能力与驱动份额。

这一点重要，是因为携带单一标量损伤变量的模型可以复现载荷-位移曲线，却无法报告是哪种机制消耗了能量。纤维断裂、基体纤维间开裂与界面分离各自拥有自己的强度、自己的韧度以及各自对纤维与载荷夹角的依赖。通道分解正是让该公式能够报告哪种机制被加载，而不只是报告累积了多少损伤。

曲率驱动单一损伤场无法承载的厚度不对称

在曲条上，上、下表面的表面分辨损伤在 R = 25 mm、周向加载、最后一个收敛状态下绘制，共用固定为 0-1 的同一标尺，植入缺口为两表面共有。两个表面场之差以发散标尺绘制并画出零等值线。平面配对的同一差值在每一步都恒为零，因此该场只度量曲率，任何数值来源的残余不对称都不会被误认为该效应。

两种加载构型之间的分离量在四个半径上读取，且读取于同一共同损伤水平而非各求解各自的终点，因为各分支终止于不同状态。平面值为 -1.9 x 10^-14，因此曲面值比它高出约十三个数量级。该分离量关于 1/R 单调，并遵循指数为 0.375 的次线性规律；过原点的最佳直线与数据偏离 51%。仅对应变不对称性施加 O(h/R) 论证会预测线性规律，因此损伤并不继承驱动它的场的标度，这与阈值过程一致：驱动力必须先超过临界值，才会有一部分转化为裂纹表面。该指数是在一个网格和一个读取水平上报告的。

这一结果附带两项限制。薄极限未给出，因为把曲率与厚度配对需要表面分辨的厚度阶梯，而这里可用的厚度分支是机制分辨的，损伤沿厚度均匀，且没有让该观测量随 h 消失的途径。并且该研究展示的是一种公式能力，而非经过标定的结构预测，因为界面韧度未经标定，几何也是基准算例。

学习算子已获认证但未被部署

从十一次求解中收集了 65,000 个本构状态语料，每个状态只有在其记录点通过 A 层与 B 层时才被接纳，这正是 C 层判据的字面应用。在纤维间通道平面中，6000 个留出状态没有一个落在训练框之外，因此留出误差度量的是插值而非外推。

蒸馏网络在纤维通道上训练集相对误差为 0.013%、留出求解为 0.165%，在纤维间通道上分别为 0.337% 与 0.605%。纤维间通道是两者中较难的一个，这在预期之中，因为它依赖两个不变量而非一个，且其状态空间高度不均匀，多数样本集中在一个不变量值附近，一条细尾延伸到支撑域的角落。

必须把两个陈述分开。第一个关于容量：一个在二次槽上使用凸激活、在线性槽上使用无约束权重、且满足定义 A.1 所要求形式的容许容器，在插值尺度上以优于百分之一的精度复现闭式解，同时保持容许，因为为得到它并未放宽六个条件中的任何一个。第二个关于部署：产生本工作所有其他结果的算子运行时网络恒为零，因此它与闭式解的误差按构造恰好为零。语料之外状态的预测质量既未确立也未声称，在该插槽上的预测性学习本构建模留待后续配套研究。

关注通道分解而非仅看载荷曲线

对于比较复合材料壳断裂模型的读者，本文与决策相关的特征不是载荷-位移响应，因为单一标量损伤变量已经可以复现它。关键在于该公式能否报告是哪种机制消耗了能量，以及这种报告能否在更换本构表示后依然成立。精确闭合恒等式使纤维、纤维间与相互作用通道成为基变换而非建模假设，六个容许条件加三层协议则让闭式算子与学习算子通过同一道闸门。

证据中最清晰的情景划分是平面几何与曲面几何之间。在平面配对上，上下表面损伤差在每一步都恒为零；而在曲条上，它比平面值高出约十三个数量级，并随 1/R 以指数 0.375 次线性增长。单一中面损伤场无法表示这种不对称，因此曲率正是双表面处理值得其代价的条件。纤维取向扫描则是纤维与纤维间通道之间 1630 倍韧度比在损伤包络与承载能力中显现之处。

因此，任何复用本工作的人，其优先事项是在信任任何下游断裂量之前先检查通道分解与容许性闸门，并把曲率不对称视为在基准算例上展示的公式能力，而非经过标定的结构预测，因为界面韧度未经标定，薄极限也未给出。

本文引用的文献