四阶不变量为何不唯一
方阵方法从非可积哈密顿系统的单圈映射出发，逐阶构造近似不变量。不变量的系数向量是转置方阵对应于单位特征值的特征向量，每一更高阶都通过求解形如 (I - m3) V = m2 V_lower 的同调方程得到。
在四阶及更高偶数阶，该方程变为奇异。旋转不变多项式 (x^2 + p^2)^2 = x^4 + 2 x^2 p^2 + p^4，其系数向量为 n = [1, 0, 2, 0, 1]^T，张成 I - m3 的零空间。因此四阶不变量只能确定到 (x^2 + p^2)^2 的任意倍数，写作 W(4) = W(4,0) + c4 (x^2 + p^2)^2，而 c4 无法仅由四阶同调方程确定。论文指出，若二次不变量带有非零交叉项（alpha 不等于 0），零向量必须修正为 [gamma^2, 4 alpha gamma, 2 beta gamma + 4 alpha^2, 4 alpha beta, beta^2]。
最小范数解只还原中心 KAM 区
选取一个代表解的一种方式是最小范数解。论文从同调方程中移除一个线性相关行，并加入正交约束 n^T V(4) = 0，迫使解与零空间正交。这给出唯一的代表解 W(4,0)，但论文强调，它并未提供系统性的物理判据来选择适合共振动力学的零空间贡献。
论文中的比较使后果变得具体。令零空间系数 c*_{4,6,8,...} = 0，即选择不带零空间修正的最小范数代表解。该选择仍能还原中心 KAM 区，但无法捕捉共振岛拓扑。
感兴趣区域内平均确定零空间
这里提出的方法保留递归方阵结构，但通过一个平均过程确定零空间系数。最优系数通过最小化近似不变量最低阶残差在指定感兴趣区域（RoI）内的空间变化来选取。零空间基向量被显式引入，其系数被选为使所得不变量还原共振岛拓扑。
演示使用 Kobayashi 映射，即一个线性辛旋转后接一个薄非线性踢，参数为 beta = gamma = 1、alpha = 0、mu = 2 pi (1/3 + 1/100)、b4 = 1/10。这使工作点位于三阶共振附近，此处存在三个稳定共振岛。即使工作点穿过三阶共振，在模拟区间内运动仍保持有界，并在三个稳定岛之间循环。
零空间修正还原三个共振岛
决定性的比较是在有和没有零空间修正的八阶不变量之间，并与追踪模拟对照。没有修正时，不变量等值线还原中心 KAM 区，但遗漏共振岛拓扑。当零空间系数由平均过程确定后，不变量等值线跟随追踪结果，恢复了岛结构。
这也解释了为何在早先对 NSLS-II 储存环的应用中该歧义并不明显。其工作点距离低阶共振足够远，中心 KAM 区在不显式考虑零空间贡献时已被很好地还原。零空间歧义在代数上是普遍存在的，与是否共振无关；其物理后果只在低阶共振附近才变得重要，此时截断近似不变量的不同代表解可能对共振岛拓扑给出非常不同的描述。
Koopman 与方阵不变量仅差零空间
论文将其六阶系数与基于 Koopman 的伪哈密顿量系数进行比较，两者归一化到相同的二次 Courant-Snyder 不变量。两种构造在三次阶完全一致：x^3 = -0.277877、x^2 p = -0.100000、x p^2 = 0.780012 在两者中相同。更高阶系数接近但不完全相同；例如 x^4 在 Koopman 中为 -2.868827，在方阵构造中为 -2.822153，p^4 为 -3.226939 对 -3.180264。
四阶差异遵循与 (x^2 + p^2)^2 相关的 1 : 2 : 1 比例：Delta C_x4 : Delta C_x2p2 : Delta C_p4 = 0.046674 : 0.093348 : 0.046674。论文将此解释为剩余差异落在递归构造固有的零空间自由度之内，而非反映底层共振岛拓扑的改变，并指出相应的不变量等值线在 RoI 内仅有微弱差异。
不变量等值线不等于哈密顿流
论文区分了一个对如何使用这些对象很重要的差别。离散辛映射的不变量约束映射近似保持其水平集，但并不唯一决定点如何沿水平集或在水平集之间移动。将不变量视为连续哈密顿量并积分哈密顿方程，所得轨迹仍被限制在单个共振岛内，而单圈映射循环置换三个岛，M^3 映射则将每个岛映射到自身。
不变量等值线还原了共振岛拓扑，但当被解释为哈密顿流时，不变量并不包含离散的岛间置换。这限制了对这一稳定三阶共振附近不变量流图像的直接应用。
方法适用与不适用之处
数值演示被有意限制在一个自由度，以便在不受耦合共振和高维相空间拓扑额外复杂性的影响下，隔离零空间歧义及其通过平均的解决。代数构造本身形式上可推广到多自由度系统，但论文将耦合共振情形留待未来工作。对于两自由度横向运动，四阶零空间是三维的，由 W_x^2、W_x W_y、W_y^2 张成，其中 W_u = gamma_u u^2 + 2 alpha_u u p_u + beta_u p_u^2，平均判据将变为对 c_xx W_x^2 + c_xy W_x W_y + c_yy W_y^2 的联合优化。
有两种特殊情况需要扩展。若线性工作点恰好位于共振上，I - m3 的零空间可能获得额外维度，需要额外的零空间基向量。对于原点处有鞍点不动点的可积 McMillan 类映射，Courant-Snyder 不变量在小振幅下没有良好定义。论文将这两种情况都置于常规加速器格设计优化的范围之外。
零空间选择何时改变物理
论文中的实际分界线不是偶数阶奇异性的存在，因为它是普遍存在的，而是详细共振拓扑是否为目标对象。对于大多数运行在远离低阶共振的圆形加速器，该歧义对中心 KAM 区影响有限，而中心 KAM 区通常是主要关注的相空间结构，机器工作点也被有意选择以避开低阶共振。稳定共振岛反而被用于共振引出和基于共振岛的同步辐射技术等专门应用，这些应用通常由单平面共振主导，此时一自由度约化提供了共振动力学的领先描述。
对于这些依赖岛的应用，零空间贡献的选择才是关键决策：最小范数代表解还原中心 KAM 区但不还原岛，而在指定感兴趣区域内的平均过程恢复了三阶共振附近 Kobayashi 映射的三个稳定岛。论文还指出，即使在给定构造内，近似不变量也不唯一，因为替代的残差度量或不同的感兴趣区域可能导致不同的不变量。
本文引用的文献
Construction of Approximate Invariants Across Nonlinear Resonances
显式引入零空间基向量，并通过在指定感兴趣区域内平均确定其系数，解决了递归构造近似不变量的非唯一性，并还原了三阶共振附近 Kobayashi 映射的三个稳定共振岛。