Gram 矩阵替代无法直接访问的内部态
多光子实验中的光子可能在偏振、频率或到达时间上存在差异，而可用的干涉仪和探测器可能只能操纵和分辨空间模式。论文针对这一缺口，重建光子内部态的 Gram 矩阵，而不是内部态本身。对于纯态，该矩阵包含预测对内部自由度不敏感的实验统计所需的全部信息。
重建只在物理上无关的相位选择意义下定义：给每个内部态乘以一个相位，不会改变任何 Bargmann 不变量，因此也不会改变外部态。层析目标因此是 Gram 矩阵的一个等价类，而不是单个矩阵。对于一般的满秩 Gram 矩阵，这留下 (n−1)² 个实参数需要确定。
Bargmann 不变量携带重叠模长与集体相位
被测量的量是 Bargmann 不变量，即各个内部态的多变量迹 Tr(ρ1···ρk)。对于纯态，它们是内积的循环乘积，其辐角是在单个态矢量重新定相时保持不变的集体相位。两两不变量 |Gij|² 确定重叠模长，而高阶不变量提供剩余的相位信息。
这一点重要，是因为 Hong–Ou–Mandel 可见度只能刻画两两干涉。多光子实验还依赖于涉及更大光子组的关系信息，因此仅用两两描述可能遗漏那些改变多光子干涉却不改变两两可见度的集体相位。
重建沿重叠图的生成树进行
该协议构建一个重叠图，其顶点是各个制备，边连接 Gram 矩阵元素非零的光子对。在每个连通分量内，它选择一棵生成树，并固定相位使树边上的重叠为实数且为正。树外的每条边与其端点之间唯一的树路径构成一个环，一旦树上的重叠为正，该环上的 Bargmann 不变量就确定了这条边的相位。
实际操作中，协议测量每个两两 Bargmann 不变量，移除低于阈值 η 的边，在剩余图上选择一棵生成树，测量沿树路径的其余不变量，估计 Gram 矩阵元素，并将结果投影到相关矩阵集合上。该投影不会增加与目标的欧氏距离，因为目标 Gram 矩阵本身就是相关矩阵。所需 Bargmann 不变量的最高阶数等于生成树的直径加一。
两条测量路线得到同一组不变量
论文提供两种互补的实验方法。傅里叶方法使用定向傅里叶干涉仪，用专用干涉仪估计每个不变量。一次性方法则从单个随机干涉仪中测得的光子数关联中提取全部二阶和三阶不变量。
在一次性路线中，二阶矩 ⟨n̂i n̂j⟩ 对平方重叠 |Gkl|² 是仿射的，定义一个线性系统 A2x2 = b2，可通过例如最小二乘法求逆。三阶关联 ⟨n̂i n̂j n̂k⟩ 线性依赖于二阶不变量和三阶不变量 GabGbcGca；由于前者已知，后者是唯一的未知量，同样可以通过求解线性系统得到。该过程原则上可推广到更高阶，但未知量数量按 O(nʳ) 增长，使其在低阶之外不切实际。
误差界把样本数与预测精度联系起来
论文推导出显式误差界，控制任何对内部态不敏感的后续实验中预测结果分布与实际结果分布之间的全变差距离。这些保证考虑了有限采样和偏离纯态的情况。
对于纯度参数为 ε 的混合态，以及总共使用 N 个实验样本的估计量，该协议给出的 Gram 矩阵估计量的均方误差上界为 A(n)/N + B(n)ε²，其中 A(n) 和 B(n) 是显式函数，取决于生成树、所用估计量以及 Bargmann 不变量的模长。对于 m 阶不变量，每个不变量估计量的偏差上界为 2mε。论文指出，1-范数界会给出紧 √n 倍的距离界，但更难解析控制。
采样成本与内部维度无关
核心资源主张是：该协议的总样本复杂度与内部希尔伯特空间维度无关，并在内部态重叠的温和假设下为多项式级。正是这一性质使该方法区别于直接重建内部自由度，后者会随该维度增长。
论文还证明了一个下界：任何策略都需要 Ω(n²/δ²) 个样本，其中 n 是光子数，δ 是目标精度。上界与下界共同将该协议的成本刻画为取决于光子数和所需精度，而不是未知的内部维度。
保证成立的范围与止步之处
重建假设光子独立制备，且内部态为纯态或近纯态，保证是针对对内部自由度不敏感的实验陈述的。多项式样本复杂度主张在内部态重叠的温和假设下成立；当某些 Bargmann 不变量非常小时，使用非零阈值 η 是有益的，论文分析了它对总误差的影响。
一次性方法的分析和模拟表明，它在随机干涉仪下条件良好，但论文指出傅里叶方法用专用干涉仪针对每个不变量。一次性方法在低阶之外变得不切实际，因为未知量数量按 O(nʳ) 增长，不过论文展示了如何在不影响数值稳定性的情况下，将线性系统缩减到仅需的 O(n²) 个不变量。
Gram 矩阵在实际中带来什么
由于 Gram 矩阵完全决定可见态，重建它就足以估计一个态与完全不可分辨粒子态有多接近。论文表明，如果 ‖G − G′‖₂ ≤ ε，那么不可分辨性度量 perm(G)/n! 与 perm(G′)/n! 之差至多为 (√n/2)ε。该量可在 O(n ε₁⁻² ln δ⁻¹) 时间内计算到加性误差，其中 n 因子来自计算 Gram 矩阵元素之积。
因此，论文确立的实际优先事项不是直接分辨偏振、频率或到达时间，而是测量足够多的 Bargmann 不变量以重建关系型 Gram 矩阵，然后利用显式误差界判断所得预测对目标实验是否足够准确。判断阈值由目标全变差距离和光子数设定，而不是由未知的内部维度设定。
本文引用的文献
Characterizing Photonic Partial Distinguishability Through Gram Matrix Tomography
Gram 矩阵层析从二次数量级的可测 Bargmann 不变量出发，重建内部态为纯态或近纯态的独立制备光子的 Gram 矩阵，其总样本复杂度与内部希尔伯特空间维度无关，并在温和的重叠假设下为多项式级。