群值码如何实现完全正则的低权逻辑基？

帧宽与距离、校验权重并列

距离 d 决定非平凡逻辑算符的最小权重，但它并不能说明：当必须为每个编码量子比特提供正则逻辑配对时，这些算符会变得多重。论文引入帧宽 f，即仍允许存在完整正则逻辑基的最小权重上限，并把它与距离 d、校验权重 w 并列为码参数。同样的想法此前在 CSS 基中以“优化共轭基宽度”的名称出现过。

这一区分之所以重要，是因为高码率码的已报道正则基，其最大权重可能是可用距离上界的数倍，即便经过稳定子陪集约化也是如此。组织成正则轨道的基很有吸引力，因为所有正则配对都来自少数种子配对的平移，耦合模式可以复用。论文要问的是：能否在保证这种组织方式的同时，让每个基算符的权重都很小，最好接近距离。

奇数阶群迫使距离为二

完全正则性首先会遇到一个结构性障碍。对于奇数阶的阿贝尔群，各对称分量上的逻辑重数不相等会阻碍完全正则性。论文用一个 LP 码说明这一点：其完全填充的单项式分量产生 16 个正则副本，对应 720 个逻辑配对，另有 64 个额外的不变配对，使各分量重数不相等。

对于奇数阶群上完全填充的二元单项式 CSS 校验，只要 k > 0，完全正则性就迫使 d = 2。论文指出这一障碍是二元构造特有的，非二元系数可以避开它。对于 2 的幂阶群，判据则相反：把每个群元素替换为 1 并求和后，两个校验矩阵都满行秩，就能保证完全正则性。这给出了一条可用的设计规则，因为可以在搜索群标签之前，先选择零模式与系数以确保完整的正则轨道，同时满足 CSS 对易条件。

码率由维度决定，距离靠搜索

设计策略通过矩阵维度确定编码码率 k/n：LP 码用经典分量的维度，PP 码用群值校验矩阵的维度。在相应的满秩增广条件下，这些维度既固定码率，又保证在有限 2-群上的完全正则性。系数域固定后，群阶决定分组长度，搜索则在给定的校验权重与报道帧宽上限内寻找更大的距离。

稀疏校验并不自动意味着稀疏逻辑算符，因为求解校验方程并施加正则配对会让逻辑算符重得多。这些构造同时控制两步：X 型和 Z 型种子指定在同一个公共量子比特块上，它们在其他块上的分量被放在互不相交的集合中，使两个算符都与所有稳定子对易，同时保持共享支撑；稀疏修正则让种子保持低权。LP 的排布直接给出正则配对，而 PP 码需要额外的约束才能在不增加种子权重的情况下实现正则配对。四元系数扩大了设计空间，让完全填充的矩阵能满足秩条件，同时其抵消模式有助于保持逻辑修正稀疏。

显式构造让帧宽贴近距离

在校验权重 w = 10 时，论文给出一个 [[1088,128,22]] LP 码，其帧宽 22 被证明为最优；以及一个 [[1024,256,24]] PP 码，报道帧宽为 27。最大的种子权重就是报道帧宽，因为平移保持权重不变，同时它给出 f 的一个上界。码表中带星号的条目表示报道帧宽等于 f。

在相同的 PP 长度与码率下，允许 w = 11 会得到两种结果：距离 25 且报道帧宽 27，或者距离 24 且被证明最优的 f = 25。这些例子显示校验权重可以换取距离，也可以换取更窄的正则帧。论文还把它的 [[1024,256,24]] PP 码与一个 [[975,195,≤24]] mitten 码作比较：码率是 1/4 而非 1/5，宽度是 27 而非 102，校验权重是 10 而非 9。

距离与帧宽可以严格分离

距离 24、宽度 25 的 PP 例子确立了“找到最短逻辑算符”与“提供完整逻辑基”之间的严格分离。穷举搜索表明，所有权重至多 24 的 Z 逻辑算符在两个指定二元块内作用的量子比特数都是偶数，而某些 Z 逻辑算符在该处的宇称为奇。乘以稳定子保持这一宇称，偶宇称算符的乘积仍为偶宇称，因此权重 24 的算符无法生成缺失的逻辑类。

尽管权重 24 的逻辑算符存在，但即便把所有这些算符合在一起也无法张满逻辑空间，所以任何完整正则逻辑基都必须包含权重至少为 25 的算符。完全正则帧达到了这一下界，从而证明 d = 24 < f = 25。论文以命题形式陈述这一结论，覆盖由其系数数组和指数定义的码，并给出 f_span = f = f_reg = 25，对不受限的混合泡利正则基同样成立。

低权张成不等于低权配对

第二个限制出现在距离 20 的 LP 例子中。每个逻辑扇区各自都有由权重 20 算符构成的完整正则基，但在给定的 C16 作用下，这些最小权重算符无法排成完全正则的正则帧，因为所需的配对无法同时满足。任何这样的帧宽度至少为 21，而该构造达到 22。

这里的障碍涉及与指定对称性相容的正则配对，而不受限的帧宽仍未解决。论文由此得出一般性结论：低权张成与低权正则配对是两项彼此独立的设计要求，即便完全正则性已经得到保证也是如此。完全正则性、低权张成和低权正则配对给码设计施加的是彼此不同的约束。

为上千量子比特的码认证距离

论文提出一种结合对称性约化与基于稳定子的剪枝的方法，用于穷举距离认证，并用它为超过一千个量子比特的 LP 例子确立精确距离。在更小的分量码与商码上进行的搜索会剔除距离上界低于目标的候选，这建立在逻辑谱学的距离过滤器之上。对于表中列出的码，全码穷举搜索排除了所有比已知非平凡见证更轻的逻辑算符。

构造提供显式的正则帧，搜索选出距离更大的码，穷举排除随后认证这些距离。配套仓库提供完整的构造目录、物理帧与见证、独立校验器、搜索源码和完成记录。论文区分了有限证书与穷举执行证据，并省略了大型遍历树。

收益在何处成立、何处止步

这些收益出现在有限分组长度上。1088 量子比特的 LP 码达到 d = f = 22，512 量子比特的 PP 例子则展示了校验权重与帧宽之间的取舍。矩阵维度允许更高的编码码率，距离与帧宽可在每个选择上分别优化。在几百到约一千个量子比特的范围内，码率 1/4 对论文的 PP 例子给出了有用的平衡。在较小分组长度上，这些例子低于已报道的 kd^2/n 前沿，但它们提供了权重受控的显式完全正则逻辑基。

在 1024 量子比特的 PP 族内，同时达到 d = 24、w = 10 和 f = 25 仍然悬而未决。存在性判据也覆盖非阿贝尔 2-群，但要把这些构造推广到完全正则逻辑基，需要一个同时保持两个 CSS 扇区的公共物理群作用，对这些例子而言这仍未解决。论文自己的表述是：帧宽规定了直接提供完整正则逻辑基所需的支撑，而这些障碍针对的是这类基，而非逻辑算符所有可能的生成集。

最值得读者关注的不是码表本身，而是论文证明的分离：对于距离 24 的 PP 构造，最小权重逻辑算符无法张满逻辑空间，因此只按距离 24 做预算的设计者会低估完整正则逻辑基所需的支撑。只要任务是为每个编码量子比特提供正则逻辑配对，实际的门槛就是 f 而不是 d；论文最清晰的取舍是：在 1024 量子比特、码率 1/4 下，校验权重 11 可以换取距离 25 且帧宽 27，或者距离 24 且被证明最优的帧宽 25。

本文引用的文献