持续同调如何建模纵向脑部MRI拓扑？

Betti曲线成为响应变量而非特征

持续同调在脑影像中的多数用法，是把一次扫描压缩成一个摘要，再检验这个摘要能否区分组别或预测结局。这项研究反了过来：对每个同调维数，它保留整条Betti曲线，也就是在每个过滤尺度取值上统计存在多少个拓扑特征，并把这条曲线当作需要解释的对象。

这一区别之所以重要，是因为Betti曲线是定义在一段连续尺度上的函数，而不是一个数。把它当作响应变量建模，可以保留协变量在尺度轴上的哪一段起作用，而不是把这一信息压缩成一个系数。论文给出的动机正是如此：拓扑摘要通常被当作预测变量或分类特征，其跨过滤取值的函数性质没有被充分利用。

响应的两个性质决定了模型形式。Betti计数是离散的，且可能过度离散，因此用负二项分布替代高斯分布。又因为每个人贡献多次扫描，模型需要多层结构，而不是单一误差项。

过滤过程与同调维数各自度量什么

持续同调追踪的是：当一个阈值（尺度参数）扫过图像时，拓扑特征何时出现、何时消失。过滤过程是由该尺度索引的一列嵌套复形；对于规则体素网格上的图像，论文使用立方复形，使持续同调可以直接从图像数据计算。

同调维数p指被计数的特征种类。H0统计连通分量，H1统计环或一维孔洞，H2统计空腔或二维孔洞。因此，维数p的Betti曲线报告的是在每个过滤取值上存活的p维特征数量。

论文分别拟合H0、H1和H2，各自有独立的系数函数。这种分开处理是有意为之，但作者也把它列为局限：他们指出，对多个同调维数联合建模可以考虑它们之间的依赖关系。

区分个体间与访视间的变异

回归通过本身随过滤尺度s变化的系数函数，把协变量与对数期望Betti曲线联系起来。基线年龄以75岁为中心，性别以女性为参照类别，随访时间以年为单位、从每位参与者第一次MRI访视算起且首次访视记为零，痴呆严重程度以CDR指示变量进入模型，CDR = 0为参照，CDR = 0.5（极轻度）和CDR = 1（轻度）各有单独项。

除固定效应外，模型还加入两组潜在函数项：个体层面成分在同一个人的多次访视间共享，访视层面成分则对应每次扫描。论文在每个层面保留三个成分，数量由敏感性分析确定。随后用函数主成分分析描述每个层面的主要变异模式。

估计采用贝叶斯联合方式，函数回归效应与多层主成分一起估计，并对两者都给出不确定性量化。作者报告了三个拟合模型的收敛诊断，包括轨迹图、后验密度、接近1的R-hat值和足够的有效样本量。

协变量效应随尺度改变位置与形状

固定效应结果并不是统一的平移。对H1而言，基线年龄系数在s的大部分取值上接近零，可信区间通常包含零，作者据此认为基线年龄效应的证据有限。性别系数在s较低处更明显，提示在该区间男性的期望H1 Betti计数高于女性。随访时间系数和CDR系数在零附近波动，在较高过滤取值处可信区间更宽。

H2的模式不同。年龄系数同样接近零，而性别系数随s变化更大，在曲线前段和后段为正、中段为负。随访时间系数在较低的s处为正，之后趋近于零。CDR系数也随s变化，可信区间同样相对较宽。

在原始计数尺度上，其他协变量取参照值、潜在效应设为零时，论文描述：基线年龄增加会抬高H1的第一个峰、压低第二个峰，因此年龄效应在尺度上改变符号，而不是带来统一的增加或减少。男性在两个主要峰附近的期望H1计数都明显更高；随访时间更长与峰附近计数逐步升高相关，而峰的位置基本不变。对H2而言，CDR = 0.5对应比CDR = 0更低的主峰，而CDR = 1对应在略大的s处出现更高的峰。

访视层面变异占主导，H2相对较弱

在纳入群体水平协变量之后，多层分解把剩余函数变异的大部分归于访视层面：H0约为97.03%，H1约为91.22%，H2约为81.78%，每项都给出了95%可信区间。个体层面占比随维数升高，从H0的2.97%升到H1的8.78%和H2的18.26%。

作者将此解释为：个体内跨访视的变异仍占主导，而个体间差异在更高维拓扑特征中越来越突出。这是关于该样本中未被解释的函数变异的陈述，而不是关于哪一来源在临床上更重要的判断。

主成分结果给出第二层区分。对H2而言，个体层面第一个成分解释53.34%的变异，主要反映主峰的突出程度；第二个成分解释29.67%，捕捉早期峰与主峰的形状及相对突出程度。访视层面前两个成分分别解释57.28%和33.08%。与H0和H1相比，H2的变异较少集中在第一个成分上，说明两个层面都有多个不同模式在起作用。

22名参与者限定了可主张的范围

应用数据来自OASIS-2，这是一个公开可用的纵向神经影像数据集。该发布版本包含150名60至96岁老年人的T1加权结构MRI，共373次成像。分析限定为有三次MRI访视的参与者，并聚焦于痴呆者，包括随访期间由非痴呆转为痴呆的参与者，最终得到22名参与者和66次检查。

这一筛选是结果的主要边界。协变量关联描述的是这个规模很小、以痴呆为重点、且恰好有三次访视的子集，而若干CDR和随访系数较宽的可信区间已经表明精度有限。论文报告的是关联，而不是年龄、性别、随访时间或痴呆严重程度对拓扑的因果效应。

第二个边界是范围：分析只使用结构MRI，并分别对每个同调维数建模。作者把跨维数联合建模以及扩展到多模态成像（包括弥散和功能MRI）列为未来工作，而不是已完成的结果。

按尺度分辨的比较才是真正贡献

最有用的结果不是协变量与拓扑存在关联，而是它们在过滤过程的哪一段起作用，以及这一位置如何随同调维数不同。年龄抬高H1的一个峰又压低另一个峰；性别在H1中作用于较低的s，在H2中则横跨前、中、后段；CDR = 0.5与CDR = 1在H2主峰上产生方向相反的变化——这些都是单一摘要统计量会被平均掉的尺度特异模式。

这也为复用该方法的人确定了优先顺序：把曲线保留为响应变量，选择与Betti计数匹配的计数分布，并在解释协变量效应之前区分个体层面与访视层面的变异。访视层面约占82%至97%，说明这些曲线中大部分未被解释的变异来自参与者内部的跨访视变化，忽略重复测量的模型会把这部分变异错误归因。

论文自己提出的下一步也遵循同一逻辑。由于H2既有个体层面占比最高，成分结构又最不集中，对同调维数做联合建模是这些结果最直接支持的扩展方向。

本文引用的文献