多项式复 Hessian 方程如何摆脱对称特征值假设求解？

为何放弃对称特征值假设

紧 Riemann 流形 X 上的经典完全非线性椭圆 Hessian 方程形如 f(λ(∇²u(x) + A(x))) = h(x)，其中 λ 表示对称自同态的特征值，f 是凹的椭圆函数，并且在变量置换下不变。正是这种置换不变性使方程成为谱方程：它可以写成 Hessian 特征值的对称函数。

论文的动机来自紧 Kähler 流形上一族多项式复 Hessian 方程，写作对 k 求和 γ_{n−k} ∧ χ^k / k!，其中 γ_k 是闭实 (n−k, n−k)-形式，χ 是固定上同调类的闭实 (1,1)-形式。这一族包含 Monge–Ampère 方程、J-方程和形变 Hermitian Yang–Mills 方程。谱情形，即 γ_k = c_k ω^k / k!（ω 为 Kähler 形式、c_k 为常数），已由 Fu、Li、D. Zhang 和 Z. Zhang 解决（至少在 c_0 ≠ 0 时）。此前唯一被解决的非谱例子是 Fang–Ma 方程，其系数满足 γ_0 > 0，其余 γ_k 弱非正。

去掉谱性会损失谱理论所依赖的凹性项。论文的应对办法是引入几乎谱方程的概念：这是一个依赖正数元组 M 的技术性条件，用来控制零集为超曲面 H 的函数 F 的导数，并重新获得额外的凹性项。

把方程定义为水平集而非函数

论文自述对一般理论的主要贡献是视角的转变。由于 C-下解的概念是逐点的，且只依赖水平集 {f = h(x)}，作者不把方程定义为 Hessian 的函数，而是直接定义为要达到的水平集。

该水平集必须是实欧氏空间 E 中的光滑 Γ-椭圆凸超曲面 H，其中 Γ ⊂ E 是闭包严格凸的非空开锥。定义包含三个条件：H 是非空连通闭光滑超曲面；对每个 A ∈ H，单位法向量 N_H(A) 落在对偶锥 Γ^∨ 中；H 的第二基本形式在切空间 T_A H 上非负。第二个条件等价于说，在 T_A H 上为零的线性形式（在允许变号的意义下）对所有非零 Γ 元素取正值，因此不依赖内积的选取。第三个条件等价于当 B ∈ H 趋于 A 时 φ(B) ⩾ o(‖B − A‖²)，同样与内积无关。

论文指出，这一视角在有下解时让可求解的椭圆方程更灵活，即使在谱情形也是如此。实际求解的方程是 ∇²u(x) ∈ H_x 对所有 x ∈ X 成立，其中 ∇²u 是 u 关于 g 的 Hessian 自同态，视为切丛的 g-对称自同态丛 End_S(TX, g) 的截面。

构造零集为超曲面的函数

对每个 P ∈ Γ，论文用隐函数定理构造光滑函数 F_P : E → R，其零集为 H。给定 A ∈ E、t ∈ R 和 P ∈ V，满足 A − tP ∈ H 且 ⟨N_H(A − tP), P⟩ > 0，则存在唯一连续函数芽 F_{A,t,P}，满足 F_{A,t,P}(A, P) = t，且对邻域内所有 (B, Q) 有 B − F_{A,t,P}(B, Q) Q ∈ H。它对 B 在原点的梯度为 N_H(A − tP) / ⟨N_H(A − tP), P⟩。

论文证明这些函数是凹的且 Γ-椭圆的，即对所有 A ∈ E 有 ∇F(A) ∈ Γ^∨。论文还证明 H 把 E 分成左下部分 H⁻ 和凸的右上部分 H⁺，并在这一框架下证明 Guan 不等式，论文称该不等式对 C² 估计很有帮助。

在几何设定 E = End_S(TX, g)、Γ = End^{++}_S(TX, g)（正定自同态的开子集）下，论文定义了 Γ-椭圆超曲面族，进而定义几乎谱族。全局定义的函数 F_P 既用于获得先验估计，也用于建立连续性方法。

先验估计控制 C² 范数

第一个主要结果是对椭圆方程 ∇²u(x) ∈ H_x 的先验估计。这里 H_0 是一族 End^{++}_S(TX, g)-凸超曲面，使得对每个 x，H_{0,x} 是包含在 H⁻_x 中的仿射超平面。在此设定下存在常数 C = C(X, g, H_0, δ, R, M)，使得任何满足 max_X u = 0 的解 u 都有 ‖u‖_{C²} ⩽ C。

该估计由若干部分拼成。L¹ 估计被描述为非常标准，沿用 Tosatti 和 Weinkove 的方法。C⁰ 估计同样标准，使用 Błocki 版本的 Alexandroff–Bakelman–Pucci 极大值原理。C¹ 估计是直接得到的，而不是作为 C² 估计加 Liouville 型定理的推论：通过引入辅助函数并研究其取极大值点处的行为得到。C² 估计也使用辅助函数，沿用许多作者的方法；来自几乎谱性的额外凹性项正是在这里使用。

一旦 C² 范数受控，Evans–Krylov 理论和椭圆正则性给出 u 任意阶导数的界。论文还证明了 C^{2,α} 先验估计，使用 Caffarelli 和 Cabré 关于依赖变量 x 的椭圆方程的估计。一致椭圆性由正的非增函数 ν(t) = min{λ_min(N_{H_x}(A)) : (x, A) ∈ End_S(TX, g), ‖A‖ ⩽ t} 量化，所得常数 α 和 C 依赖 X、g、ν(‖∇²u‖_{C⁰}) 以及常数 M′₁₃。

在上同调条件下用连续性方法证明存在性

第二个主要结果是存在性定理。设 H ⊂ End_S(TX, g) 是一族几乎谱的光滑 End^{++}_S(TX, g)-椭圆凸超曲面，并假设存在 C-下解 u : X → R。再假设对所有光滑的 u 和 h : X → R，若对所有 x ∈ X 有 ∇²u(x) − h(x) Id ∈ H_x，则 h 关于体积形式在 X 上的积分为零。在这些假设下，存在光滑的 u : X → R，在相差一个常数的意义下唯一，使得对所有 x 有 ∇²u(x) ∈ H_x。

论文指出，这一额外积分条件对某些复 Hessian 方程可由上同调论证得到，但一般未必成立。证明建立了一个连续性方法，方程族为 F(x, ∇²u(x)) = (1 − t) F(x, 0)，t ∈ [0, 1]，其中 F = F_Id。存在光滑解的 t 的集合 I 包含 0，因为 u = 0 解 t = 0 的方程。开性来自隐函数定理，作用于一个映入积分为零的 C^{0,1/2} Hölder 空间的映射，其线性化由椭圆性为同构。闭性来自一致的 C^{2,α} 先验估计以及 C^{2,α} 的闭球在 C^{2,α/2} 中的紧性，再用标准自举论证得到光滑性。

唯一性单独证明。若 H_1 和 H_2 是光滑 End^{++}_S(TX, g)-椭圆凸超曲面且 H_1 ⊂ (H_2)⁻，u_1、u_2 是光滑函数且对每个 i 有 ∇²u_i(x) ∈ H_{i,x}，则 u_1 − u_2 为常数。论证使用一个线性椭圆算子 □，其核由常数构成，并结合 □u ⩾ 0 以及一个分部积分恒等式迫使等号成立。

求解额外的未知参数

第三个主要结果处理超曲面族带有额外未知量的情形。设 a < b 为实数，H 是丛 End_S(TX, g) × [a, b] → X × [a, b] 中一族光滑 (End^{++}_S(TX, g) × [a, b])-椭圆凸超曲面。对每个 c ∈ [a, b]，切片 H^c = {(x, A, t) ∈ H : t = c} 是 End_S(TX, g) 上一族光滑 End^{++}_S(TX, g)-椭圆凸超曲面。论文假设存在一致元组 M 使每个 H^c 关于该元组是几乎谱的，并假设映射 c ↦ (H^c_p)⁻ 关于包含关系非减。

论文还假设存在光滑的 u : X → R，它是 H^b 的 C-下解，且对所有 x ∈ X 满足 ∇²u(x) ∈ (H^a_x)⁺ ∩ (H^b_x)⁻ = ⋃_{c ∈ [a,b]} H^c_x。在这些假设下，存在光滑的 u : X → R（在相差一个常数的意义下唯一）以及 c ∈ [a, b]，使得对所有 x 有 ∇²u(x) ∈ H^c_x。若进一步当 c_1 ≠ c_2 时 H^{c_1} ∩ H^{c_2} = ∅，则 c 也唯一。

证明在 (t, c) ∈ [0, 1] × [a, b] 上运行双参数连续性方法，方程为 F^c(x, ∇²u(x)) = (1 − t) F^c(x, 0) + K，未知量是数对 (u, K)，K 为实常数。一个引理把 K 限制在 min_X F^b(x, 0) 与 max_X F^a(x, 0) 之间。论证随后追踪集合 J_1 = {t ∈ [0, 1] : (t, b) ∈ I} 和 J_2 = {c ∈ [a, b] : (1, c) ∈ I}，证明 J_1 = [0, 1]，并按 K_{1,c} 的符号把 J_2 的分析分成两种情形。

这些定理覆盖与不覆盖的范围

结果针对 n 维紧 Riemann 流形 (X, g)，以及切丛的 g-对称自同态丛中的超曲面。存在性定理要求几乎谱族，这是一个依赖正数元组 M 的技术性假设，并要求 C-下解。定理 2 还要求关于 h 的积分条件；论文明确指出该条件对某些复 Hessian 方程可由上同调论证得到，但一般未必成立。定理 3 则假设 H^b 存在 C-下解，并加上交集条件 ∇²u(x) ∈ (H^a_x)⁺ ∩ (H^b_x)⁻，它同时给出解和参数 c，只有在额外的不相交假设（c_1 ≠ c_2 时 H^{c_1} ∩ H^{c_2} = ∅）下 c 才唯一。

论文是系列文章的第一篇，其自述目的是给出紧 Kähler 流形上多项式 Hessian 方程的数值判据，寻求能同时覆盖 Fu–Li–Zhang–Zhang 谱方程和 Fang–Ma 非谱方程的系数 γ_k 假设。本文发展的是分析框架——紧 Riemann 流形上非谱 Hessian 方程的一般存在性定理——而非给出最终的数值判据。论文还说明 AI 被少量用于纠正拼写、润色引言和生成图形的 LaTeX 代码，作者对所有数学内容负责。

因此对读者而言，实际区别在于两条存在性路径。定理 2 保持超曲面族固定，代价是 h 的积分条件，论文称该条件一般没有保证。定理 3 通过让参数 c 未知来避开该条件，但要求上族 H^b 存在 C-下解以及关于 ∇²u 的交集条件，并且只有在切片 H^c 两两不相交时才确定 c。适用哪条路径，取决于具体的多项式复 Hessian 方程是提供了定理 2 所需的上同调消没，还是更契合定理 3 的单调族结构。

本文引用的文献