两个几何观测量及其幂律衰减
论文要回答的是：在低能有效理论中把引力子量子化后，由几何量构造的两点欧几里得关联函数会呈现什么行为。这里涉及两个算符：局域里奇标量曲率 R，以及局域体积因子，即度规行列式的平方根。所谓两点函数，指的是该算符在源点和汇点的取值之间的关联，两点在欧几里得空间中相隔距离 x。
在四维纯引力中，传播的自由度是无质量引力子，因此这些关联函数按间距的幂次衰减，而不是指数衰减。人们已知，平直空间附近的领头曲率关联函数是 delta 函数的导数，也就是在原点之外处处为零。这个接触项在数值格点关联函数中不可见，所以曲率关联函数第一个非零贡献从次领头阶开始，需要做单圈计算。体积关联函数在此前尚未在有效理论中被计算过。
坐标修正为何是规范不变的前提
方法上的核心要点是：关联函数的源和汇位于一个本身在涨落的时空上。源汇间距最方便地写成理论展开所依据的平直背景上的距离，因此当时空发生涨落时，这个背景距离与实际的关系距离之间的关系会改变。作者用关系型观测量来处理这一点：定义一个共享的主坐标系 X，它相对于完整度规满足调和条件，于是所有观测者都把测量结果归到同一套“路标”上。
X 的每个分量在微分同胚变换下都像标量场一样变换，作者因此称它们为坐标标量。把 X 按引力耦合逐阶展开，会在标准场论费曼图之外产生新的费曼图。论文明确验证：只有把这些坐标修正计入之后，曲率与体积关联函数才不再依赖规范固定参数。这一抵消被作者视为对形式体系和计算本身的有力交叉检验。
曲率关联函数按 x 的八次方反比衰减
在单圈阶，曲率关联函数由八个图贡献。单独看，各部分依赖规范参数 alpha 和 beta；而且一个通常应当为零的蝌蚪图并不为零，因为二阶标量传播子引入了非平凡的动量流。把八个图相加后，alpha 和 beta 的依赖相互抵消，动量空间中留下正比于 q^4 ln(-q^2) 的规范不变结果，外加正比于 q^4 的局域解析项。
变换到位置空间后，局域项成为 delta 函数的导数，作为接触项被舍弃。非局域部分给出 3 kappa^4 / (4 pi^4 x^8)，经欧几里得延拓并改用牛顿常数表示后，变为 768 G^2 / (pi^2 x_E^8)。欧几里得间距的八次方反比，就是格点计算需要复现的具体预言。
用抵消项捷径确定体积关联函数
体积关联函数需要三阶坐标修正，作者用一个捷径避开了这一冗长展开。他们注意到，O(R^2) 算符的树级插入对曲率关联函数和体积关联函数给出相同的局域抵消项线性组合。由于在这一阶没有出现消失贡献（evanescent contributions），抵消单圈紫外发散的那个 1/epsilon 极点的系数，同时也确定了 ln(-q^2) 项的系数。
于是他们可以从曲率结果推出体积关联函数的单圈结果。动量空间中它是 kappa^4/(256 pi^2) ln(-q^2) 加上局域项，位置空间中变为 kappa^4/(256 pi^4 x^4)，即 4 G^2 / (pi^2 x_E^4)。加上领头的树级部分，就得到完整的次领头阶欧几里得体积关联函数：12 G / (pi x_E^2) + 4 G^2 / (pi^2 x_E^4)。注意两项的标度不同：单圈项按四次方反比衰减，树级项按平方反比衰减。
共形模的延拓需要谨慎处理
摘要特别指出，共形模向欧几里得号差的解析延拓存在一处微妙之处。这一点重要，是因为欧几里得关联函数才是格点模拟实际能测量的对象，而延拓对度规的每个模式并不自动成立。论文对此做了谨慎处理，而不是假定延拓可以直截了当地进行；最终给出的欧几里得表达式，才是被当作普适预言的那一组。
作者还强调，他们得到的关联函数为正。他们把这归因于反射正定性，并预期这一性质应当对更基本（幺正）理论的普适长距离预言成立。正定性在这里是作为令人安心的自洽特征提出的，而不是一条独立的推导。
只有非解析部分才是普适预言
有效理论不可重整，因此每一阶都会出现新的低能常数，用来编码未知的短距离物理。这通常会破坏预言能力。能够保留下来的是辐射修正带来的领头非解析行为，它可以用少数几个耦合表示，往往只需 G。这里的曲率与体积结果正属于这一类：ln(-q^2) 项及其在位置空间中的幂律，只依赖牛顿常数和源汇间距。
相比之下，局域解析项并不由这一计算确定。它们傅里叶变换后是 delta 函数及其导数，属于接触项，非零间距上的格点计算本来也看不到。正因如此，作者才能把幂律部分作为明确的预言给出，同时不指定局域项。
为非微扰格点引力提供基准
这些表达式的既定用途，是与非微扰的格点引力表述作比较。格点方法试图超越有效理论、捕捉非微扰效应，通常的做法是寻找一个非平凡不动点，从而在温伯格的渐近安全方案下使理论在紫外完备。无论这一纲领是否成功，格点方法原则上都应当在长距离上还原有效理论。
因此具体的比较，就是把格点测得的曲率与体积两点函数，同 768 G^2/(pi^2 x_E^8)（曲率）和 12 G/(pi x_E^2) + 4 G^2/(pi^2 x_E^4)（体积）这两条幂律对照，其中 G 以格点单位固定。曲率情形是更锐利的检验，因为它的领头项是对格点不可见的接触项，全部可见信号就是单圈的 x_E^-8 尾部。体积情形则同时带有树级的 x_E^-2 项和单圈的 x_E^-4 项，格点检验必须把这两种标度分开，而不能只拟合单一幂次。
本文引用的文献
Euclidean Correlation Functions in Quantum Gravity
算到单圈阶，曲率关联函数为 768 G^2/(pi^2 x_E^8)，体积关联函数为 12 G/(pi x_E^2) + 4 G^2/(pi^2 x_E^4)；只有计入时空涨落带来的坐标修正后，结果才是规范不变的。