质量无序如何驱动双曲晶格中的相变？

三种干净晶格，三种零能响应

这项研究比较了三种双曲晶格，用 Schläfli 符号分别标记为 {10,3}、{8,3} 和 {8,4}。三者都铺在采用开边界条件的庞加莱圆盘上，并用最近邻紧束缚模型描述：电子只在互补的 A、B 两个子晶格之间跃迁。正是这种二分结构，才使交错排列的格点势成为可能。

在干净极限下，三种晶格在带中心（即零能处）的表现不同。{10,3} 晶格的态密度在零能附近按幂律趋于零，作者称之为狄拉克液体；{8,3} 晶格在该处的态密度为有限值，是费米液体；{8,4} 晶格的态密度发散，是平带。三者起点不同，因此同样的无序未必产生相同的相序列。

质量无序指两个子晶格上的相反势

这篇论文中的无序，并不是对每个格点施加相同的随机势。在每个原胞内，A、B 格点获得大小相等、符号相反的势 ±V(r)，其大小对每个原胞独立地从 [−W/2, W/2] 上的盒分布中抽取。因此参数 W 设定的是这种交错、子晶格反对称无序的强度。

这一选择的重要性在于它对对称性的影响。干净模型保持时间反演、粒子—空穴和子晶格（手征）对称性，属于 BDI 类。加入质量无序后，粒子—空穴对称性和子晶格对称性被破坏，但时间反演对称性保留，系统进入正交类 AI。作者指出，AI 类在二维欧几里得晶格上不允许出现安德森金属—绝缘体转变，因此这里若发现这种转变，必然与双曲几何有关，而不是普通平直空间的行为。

平均态密度与典型态密度回答不同问题

论文追踪两个容易被混为一谈的量。平均态密度 ρa(E) 是能量 E 处经无序平均后的谱；典型态密度 ρt(E) 先对晶格某一代中各格点的局域态密度取几何平均，再对各代取平均。有限的平均态密度可能由稀有区域贡献，而典型值却趋近于零；这正是两者需要分别报告的原因。

两者都用核多项式方法计算，该方法把态密度展开为切比雪夫多项式。作者对平均态密度取 10 个独立无序实现平均，对典型态密度取 60 个，并检查了结果随切比雪夫矩数目的收敛性。系统规模很大，每个都包含超过 10^5 个格点，{10,3}、{8,3}、{8,4} 的总代数分别为 7、9、7。

狄拉克液体经历两次独立转变

在 {10,3} 晶格上，ρa(0) 和 ρt(0) 在中等无序强度之前都保持在极低水平，约低于 10^(−3)。超过该点后，半金属通过量子相变变为扩散金属，零能处的平均态密度和典型态密度都变为有限值。由这两个量提取的临界强度并不相同：平均态密度给出 Wc,1 ≈ 0.55，典型态密度给出 Wc,1 ≈ 0.40。作者把这一差异归因于核多项式方法只在无序强度约大于 1 时才严格稳定，并指出否则两个估计本应一致。

在更强无序下，系统经历第二次转变，即安德森金属—绝缘体转变：此时只有 ρt(0) 趋于零，平均态密度仍为有限值。这里的临界强度取决于对典型态密度趋于零所假设的函数形式：幂律拟合给出 Wc,2 ≈ 7.00，本质奇点拟合给出 Wc,2 ≈ 10.45。作者报告两种形式都拟合良好，并未排除本质奇点，理由是大量边界格点使有效维度趋于无穷。

费米液体与平带跳过第一次转变

{8,3} 和 {8,4} 晶格的表现不同。两者都只出现安德森金属—绝缘体转变，没有先行的半金属—金属步骤，因为它们在干净极限下零能处的态密度本就有限或发散，而不是趋于零。因此它们的相图只包含金属和安德森绝缘体，两者由一个量子临界点分隔。

临界强度同样取决于所假设的奇点形式。对 {8,3}，幂律拟合给出 Wc,2 ≈ 6.00，本质奇点拟合给出 Wc,2 ≈ 8.25；对 {8,4}，相应值为 Wc,2 ≈ 12.00 和 Wc,2 ≈ 14.35。{8,4} 晶格在中等无序之前还保留着零能附近显著的态密度峰，这是干净平带的残余。

临界指数接近格点势无序的数值

在 {10,3} 的半金属—金属转变附近，平均态密度随能量按幂律变化，指数 α = 0.99 ± 0.01。在零能处提取的序参量指数为：平均态密度 βa = 1.78 ± 0.05，典型态密度 βt = 1.02 ± 0.03。作者指出，βa 与 βt 取值不同，提示该转变附近的波函数可能具有多重分形性质；这是他们提出的可能性，而非已确立的结论。

在安德森转变处，幂律拟合给出 βA = 1.84 ± 0.15（{10,3}）、1.96 ± 0.14（{8,3}）和 1.80 ± 0.08（{8,4}），这些值在数值误差范围内一致。论文的结论是，这些指数与同一批转变由格点势无序驱动时得到的指数足够接近，这与两类无序都把系统归入 AI 类相符。

曲率、边界与光子学测试平台

作者认为，这里之所以存在金属—绝缘体转变，是因为负空间曲率对粒子返回原位的概率提供了红外截断，削弱了本应使其局域化的干涉。在 AI 类的二维欧几里得晶格上，预期不会出现这种转变。论文还指出，其态密度标度可能依赖边界条件（开边界或周期边界），但与系统尺寸无关，因为在这些大晶格中，体内格点与边界格点的比例已接近热力学极限值。

论文提出的实验场景是支持波动的经典超材料，并认为光子晶格是最有希望的候选；作者指出，这类平台上已经设计出双曲晶格。他们的具体预测是：在开边界条件下，若把折射率按图 1(a)–1(c) 所示的原胞内交错模式随机改变，脏光子双曲晶格可以在 {10,3} 上同时表现半金属—金属转变，并在三种晶格上都表现安德森转变。这是提出的测试平台，而非已报告的测量结果。

决定相序列的是晶格，而非仅无序强度

这篇论文中最有用的比较，是在同类无序下对比三种晶格。只有当干净带中心的态密度本就趋于零时（如 {10,3}），交错子晶格形式的质量无序才产生半金属、金属和安德森绝缘体三个稳定相。当干净态密度有限或发散时（如 {8,3} 和 {8,4}），同样的无序只给出金属和安德森绝缘体。

第二个区别同样重要：报告中的临界强度并不是单一数值。对每一次安德森转变，Wc,2 都会随典型态密度采用幂律拟合还是本质奇点拟合而显著变化，论文明确把这一问题留待进一步研究。因此，读者在比较这些晶格的阈值时，除了晶格本身，还应比较所假设的奇点形式，并把 {10,3} 的两步序列视为论文核心的、与具体晶格相关的发现。

本文引用的文献