非线性幺正性如何扩展 S-矩阵的 EFThedron 几何？

从正定性到幺正圆盘

S-矩阵 bootstrap 在不指定高能动力学的情况下约束低能耦合。在标准 EFThedron 图像中，色散关系把每个耦合写成振幅虚部在高能区的积分，而幺正性使该吸收部分为正。于是每个耦合都是某个未知但非负谱的矩，允许的耦合构成经典矩问题，其几何由 Hankel 矩阵正定性和交叉关系确定。

这一图像只用到幺正性的一部分。把分波写成 S = 1 + i f，概率守恒要求 (Re f)^2 + (Im f − 1)^2 ≤ 1，纯弹性散射时取等号。只保留 0 ≤ Im f ≤ 2 会得到 deprojected EFThedron，即密度有界的矩问题。完整圆盘更强，因为它把实部与虚部绑定在一起，而通常的系数求和规则只涉及虚部。

论文给出的层级把差别具体化：正定性把 f 限制在半平面，线性化幺正性把它限制在条带，完整幺正性把它限制在圆盘。极值谱也随之改变：正定性对应 delta 函数，线性化幺正性对应 b = 0 到 b = 2 之间的台阶，完整幺正性对应幺正圆上的纯相位。

分数幂核让实部成为矩

技术上的关键一步，是在变形围道之前把振幅乘以 K_α(x) = (1 − x^2)^α，其中 α 为实数。这个乘积的不连续性混合了振幅的两个分量：它等于 (x^2 − 1)^α [cos(πα) Im A − sin(πα) Re A]。当 α = 0 时，它退化为只含 Im A 的通常关系；当 α = 1/2 时，它把实部单独分离出来。

做分波展开后，这样得到的每个系数都成为复分波的线性泛函。耦合取复矩形式 M_k = Σ_ℓ ∫ Im(q_kℓ f_ℓ) dν_ℓ，其中 q_kℓ 是已知复权重，ν_ℓ 是正参考测度，并受 |f_ℓ − i| ≤ 1 约束。这类似于经典矩问题，只是正密度被替换为限制在幺正圆盘内的复密度。

由于不同核重构的是同一批系数，它们的结果必须一致。论文把由此得到的线性条件称为解析性零约束，以类比交叉对称给出的零约束。其中一族有用的约束比较普通核与平方根核：第一个谐波重构减除常数 a_0，更高阶谐波给出取值为零的零约束。作者强调，这不是新原理，而是实现解析性的另一种方式，与实部色散关系和 Roy 方程密切相关。

零约束在矩区域中切出线性切片

幺正性本身定义了一个复矩的凸体。交叉零约束与谐波零约束用线性平面切割这个凸体，得到的几何就是 Real EFThedron。只使用有限个零约束时，这一程序给出外边界：对给定的一组零约束，Real EFThedron 是那些耦合的集合，使得存在位于幺正圆盘内、能重现这些耦合且满足全部零约束的分波。该集合是凸的，加入零约束会使其收缩，并且它包含物理区域。

论文用两种互补方式计算边界。在极值测度方法中，把零约束以可调乘子加入待约束的耦合组合，然后在每个能量和自旋上最大化被积函数 U Re f + V Im f。其最大值 V + √(U^2 + V^2) 位于幺正圆上的某个确定相位，于是纯相位接替了正矩问题中 delta 函数、线性化幺正性中台阶所扮演的角色。对这个局部最大值积分、对自旋求和、再对乘子取极小，就得到边界。

在矩矩阵方法中，完整幺正性写成 2×2 矩阵 W_ℓ 的正定性，其元素为 Im f_ℓ、Re f_ℓ、Re f_ℓ 和 2 − Im f_ℓ，迹为 2。对 W_ℓ 在能量上取矩，得到正的分块 Hankel 矩阵，其吸收部分主子矩阵正是熟悉的 Im f 与 2 − Im f 的 EFThedron Hankel 矩阵，如今由实部矩联系起来。色散关系和零约束变成矩阵元素之间的线性方程，扩大矩阵则给出系统性的约束层级。

二维情形用 CDD 因子精确求解

二维没有自旋求和，系数区域可以被精确确定。对质量为 m 的全同标量，论文考虑无极点、交叉对称的类别，其中 S 在交叉认同的圆盘上解析，并通过 T(s) 的展开在 s = 2m^2 处定义耦合。使用 α = 0、−1/2 和 −1 的核，有一个耦合组合同时由虚部和实部重构，因此解析性要求第一个零约束 N_1 = ⟨sin θ Re f − cos θ Im f⟩_θ = 0。

对每个 μ 约束 Λ_2 + (1 − μ)Λ_0/4，并通过乘子加入零约束，最优选择 λ = (1 − μ^2)/2 使 U^2 + V^2 成为完全平方。于是极值分波是 cos θ 与 sin θ 的有理函数，割上的相应 S-矩阵满足 |S| = 1，形式为 S(θ) = (−μ + e^{−iθ})/(1 + μ e^{−iθ})，即单因子 Castillejo–Dalitz–Dyson 振幅的边界值。消去 μ 就重现已知的精确透镜区域：−8 ≤ Λ_0 ≤ 0 且 Λ_0^2/32 ≤ Λ_2 ≤ −Λ_0/2 − Λ_0^2/32。

更高阶时，零约束 N_j = ⟨sin(jθ) Re f − cos(jθ) Im f⟩_θ = 0（j = 1, …, n）与幺正性结合，精确确定前 n + 1 个耦合的区域。其边界由 n 个 CDD 因子的乘积构成。在这个二维设定中，Real EFThedron 不只是外边界，而是精确区域。

四维情形让减除常数进入约束

四维中论文使用两次减除的色散关系，假设固定 t 时 M(s,t)/s^2 → 0（|s| → ∞）。对无质量 EFThedron 模型，树级 EFT 振幅保持到截断能标，重态在 s = 1 处产生割，轻粒子圈被忽略；幺正性只在截断以上、沿重割施加。

实部使人们能够约束正定性无法约束的常数耦合 g_0。普通吸收求和规则用 Im f 确定 g_2 和 g_3，但 g_0 是这些关系无法固定的减除常数。z^4 阶的平方根核确实包含它：在 t = 0 时，谐波矩在 j = 0 时等于 g_2/16，在 j = 1 时等于 g_0/128，在 j ≥ 2 时为零。更高阶模式给出谐波零约束，标准交叉论证再加入第一个交叉零约束 X_4 = ⟨L(L − 8) Im f / s^2⟩ = 0，其中 L = ℓ(ℓ + 1)。

对这个无质量模型，此前已用 primal bootstrap 得到完整幺正性的边界。论文转而给出由两次减除色散关系导出的对偶边界，并称其对该模型是新的。这些边界以闭式不等式和更强的数值边界呈现，而所用的约束集远未穷尽。

有质量标量边界缩小对偶与原始区域差距

对有质量标量并采用完整物理阈值时，论文把固定动量转移平均与涂抹 Roy 方程和谐波零约束结合起来。固定动量转移平均还检验了超出早期对偶计算所用紧致窗口的外部能量，这一点重要，因为零约束约束的是所有能量上的实部，而不只是该窗口内。

数值输出是一组 25 个不等式。它们与正定性一起给出 −7.751502 ≤ g_0^m ≤ 2.705955 和 0 ≤ g_2^m ≤ 1.052351。完整包围区是这些半平面的交集，是振幅区域的外边界。已发表的对偶曲线和原始曲线使用同一归一化 (c_{0,0}, c_{1,0}) = (g_0^m, g_2^m)，因此比较是同口径的。

这种比较是方向性的，而非一致性的。对 24 个不等式，论文要求向外取整后的常数小于同一方向上已发表的支持函数，所用的是观测到的数字化对偶分支；剩下的不等式 g_0^m ≤ 2.705955 则单独与已发表的外推标量边界 g_0^m ≤ 2.7272 比较。每个保留的不等式至少改善一个方向，但它们的交集未必一致改善整条已发表曲线。作者指出，这些经过认证的不等式改善了已发表对偶边界的部分区段，缩小了与原始结果的差距，同时只依赖已证明的解析性要求。

前向 Gram 族及其已知极限

前向 Gram 族给出一个具体的闭式例子。使用沿割从 0 到 1 的变量 x = 2/(s − 2)，谱平均变成测度 dμ_m = (4/π) x(1 + x)√(1 − x^2) dx 的积分，其矩可用 Euler beta 函数表示。采用适配谐波的权重后，Gram 矩阵呈分块形式，其中混合项等于前向矩，因为 j ≥ 2 的谐波为零。

消去该矩得到双侧不等式 −(128/27) g_2^m − √2 K_N g_2^m ≤ g_0^m ≤ −(64/27) g_2^m + √2 K_N g_2^m，其中 K_N = (1^T T_N^{−1} 1)^{−1}。增大矩阵规模会同时加强两侧边界。最初的常数为 K_2 = 496.5422085…、K_4 = 286.0222386… 和 K_32 = 235.8219144…，解析极限为 K_∞ = 233.7516883972…。

作者明确指出，这个极限边界是解析外边界，而不是精确区域，因为用到了 W_ℓ ⪯ 2I 和一项 Legendre 多项式不等式。特别地，它不能从上方约束 g_2^m。在这个族中，零约束的数量与矩阵规模随 N 一同增长，因此层级以受控方式改进，而不是直接收敛到物理区域。

Real EFThedron 改变了什么优先级

论文的独特主张不是幺正性、解析性和交叉可以结合，而是通过把振幅的实部与虚部放在同等地位，它们可以在同一个矩几何内结合。正是这一点把减除常数 g_0 带入受约束区域，也正是这一点把解析性变成穿过复矩体的线性零约束切片，而不是一个单独的的重构步骤。

最重要的比较是二维与四维结果之间的比较。二维中有限个零约束给出精确耦合区域，极值测度是 CDD 振幅。四维中报告的每个边界都是外边界，对已发表对偶边界的改进是逐方向认证的，而不是整条曲线的一致收缩。

因此，对想从这项工作中取用的读者来说，关键区分在于精确性与经过认证的改进。二维结果确立了当零约束集完备时方法可以精确；四维结果确立了选定的零约束族已经收紧对偶边界的部分区段，同时只使用已证明的解析性要求。作者还指出，所用约束集远未穷尽，因此包含交叉对称色散关系的系统优化应能进一步强化这些边界。

本文引用的文献