非局域性通过协变狄拉克算符进入
论文通过把局域动能项替换为 i Psi-bar /nabla f(/nabla) Psi 来在弯曲时空中建立非局域自旋 1/2 场论，其中 /nabla 是协变狄拉克算符，f 是非多项式整函数。这与早期用依赖 d'Alembertian 的形状因子构造费米子非局域性的做法不同，因为一阶的矩阵值狄拉克算符带有自身的解析结构。
对所得非局域狄拉克方程取平方得到 [K f^2(/nabla) + m^2] Psi = 0，其中 K = box - R/4，因此旋量分量一般并不满足彼此独立的标量非局域方程。论文还对动能算符施加了一个此前在闵可夫斯基空间构造中未被考虑的厄米性条件，并分析了与引力和 U(1) 规范场的耦合，其中非局域修正通过 Zassenhaus 展开来组织。
每一支都映射到带有效质量的局域狄拉克方程
由于形状因子是狄拉克算符的解析函数，它作用在满足 i /nabla Psi_M = M Psi_M 的局域狄拉克模式上是对角的，即 f(/nabla) Psi_M = f(-iM) Psi_M。于是只要满足 M f(-iM) = m，非局域方程就得到满足，因此非局域 Bunch-Davies 模式可由局域解通过替换 m -> M_n 得到，其中 M_n 是该条件的解。
对于这里所考虑的指数型形状因子，有效质量用 Lambert-W 函数的各支表示。这一分支结构是论文的核心技术对象：它决定哪些解可以被当作物理模式，哪些只是形式上的解析延拓。
只有模型 II 的主支承载物理模式
论文研究了两个指数型形状因子，模型 I 和模型 II，并对它们的传播子极点和留数进行分类。模型 I 是非厄米的，在有限 Lambda 下一般具有复极点。模型 II 满足厄米性条件，并在 0 < m/Lambda < 1/e 时允许一个实的、正留数的主支 n = 0；它的第二个实支 n = -1 具有负留数，是类鬼的，其余各支为复支。
因此物理分析被限制在模型 II 的主支上，其中 M_0 = -Lambda W_0(-m/Lambda)。负留数支或复支不被赋予独立的产生和湮灭算符，也不假设存在跨越不同 Lambert-W 支的张量积希尔伯特空间。物理的非局域 Bunch-Davies 真空就是在 M_n = M_0 处取值的逐支真空。
Bunch-Davies 态的欧几里得解析性在非局域性下依然成立
局域构造通过旋量模式的欧几里得解析性以及欧几里得基与 R/L 开图基之间的 Bogoliubov 变换来挑选 Bunch-Davies 模式。在非局域理论中这一结构得以保留：正频模式仍然由欧几里得延拓下半球上的解析性挑选，而进入该构造的依赖质量的量则通过 m -> M_n 被修改。
论文指出，欧几里得解析性论证直接适用于实支，而复支则被理解为形式上的解析延拓。径向函数、归一化因子以及解析延拓系数 A_n 和 B_n 都由局域表达式经替换 m -> M_n 得到。
不出现物理的费米子超曲率模式
局域理论已知没有物理的费米子超曲率模式，论文表明这一特征得以保留。令 p = i p-tilde 且 p-tilde > 0，主支上的解析延拓系数变为 B_0(i p-tilde)，正比于 Gamma(1/2 + p-tilde)^2 / Gamma(1/2 + p-tilde + i mu_0)^2，它不为零。
由于该系数不消失，另一边界处的发散贡献无法被消除，相应的模式不可归一化。因此，物理费米子超曲率模式的不存在性在模型 II 的主支上得以延续。
占据数与纠缠熵随质量移动而改变
在物理主支上，大 Lambda 区域的质量移动为 delta M = M_0 - m = m^2/Lambda + 3 m^3/(2 Lambda^2) + O(Lambda^-3)。解析延拓系数展开为 A_0 = A(m) + delta M A'(m) + O(delta M^2) 和 B_0 = B(m) + delta M B'(m) + O(delta M^2)，其中导数在固定 p 和 H 下取值。
定义 q = |gamma_{p,0}|^2 和 q_p = |gamma_p(m)|^2，论文得到 q = q_p + delta M dq_p/dm + O(delta M^2)。平均占据数的非局域修正为 delta N_p = (m^2/Lambda)(1 + q_p)^2 dq_p/dm + O(Lambda^-2)，纠缠熵的修正为 delta S_p = -(2 ln q_p)/(1 + q_p)^2 (m^2/Lambda) dq_p/dm + O(Lambda^-2)。由于在大 Lambda 区域 delta M > 0，两项领头修正都由局域压缩参数对质量的依赖所控制，并源自同一个非局域质量移动。
在所考虑的参量下非局域性压低 R-L 纠缠
论文定义 delta S_p = S_p^NL - S_p^local，因此 delta S_p > 0 表示 R 与 L 开图之间的纠缠增强，delta S_p < 0 表示压低。图 1 在模型 II 的物理主支上，对 p = 0.1 以及 Lambda/H = 5、10、20，画出了领头非局域修正 delta S_p 随 m/H 的变化。
对于这些参量，delta S_p < 0，表明 R-L 纠缠被压低。这种压低随 Lambda/H 减小而增强，并在局域极限 Lambda/H -> 无穷时消失。论文还指出，局域狄拉克理论在 Lambda -> 无穷的极限下被平滑地恢复。
决定优先级的是物理支而非形状因子
论文的实际优先级在于分支选择：在指数型形状因子产生的各 Lambert-W 支中，只有模型 II 的主支 n = 0 在 0 < m/Lambda < 1/e 时是实的、正留数的物理扇区。类鬼的第二个实支和复支不被赋予独立的产生和湮灭算符，因此不应把它们的贡献读作额外的物理粒子或额外的纠缠通道。
在该物理扇区内，与判断相关的比较是在固定 p 和 H 下局域结果与非局域修正之间的比较：同一个质量移动 m -> M_0 同时驱动占据数修正和纠缠熵修正，而纠缠变化的符号取决于 dq_p/dm 的符号。论文自身的后续计划指向黑洞近视界几何和膜世界情景，这些被表述为未来工作，而非本研究的结果。
本文引用的文献
Nonlocal Dirac theory in curved spacetime and the Bunch–Davies vacuum
该论文在弯曲时空中建立了一个非局域自旋 1/2 理论，其形状因子是协变狄拉克算符的整函数；它把非局域动力学逐支映射到带有 Lambert-W 有效质量 M_n 的局域狄拉克方程，并表明在模型 II 的物理正留数主支上，Bunch-Davies 构造保持其欧几里得解析性，而 Bogoliubov 系数、压缩参数、占据数和纠缠熵通过 m -> M_0 获得非局域修正，在所考虑的参量下 R-L 纠缠被压低。