间隙比较的是单信道与它的两副本 Bell 输入
所考察的量是 Δp(Φ; Ωn) = 2Hmin,p(Φ) − Hp(Φ⊗2(Ωn))，其中 Hmin,p 是单个信道的最小输出 Rényi 熵，Ωn 是标准 Bell 输入。乘积输入总是满足 Hmin,p(Φ⊗Ψ) ≤ Hmin,p(Φ) + Hmin,p(Ψ)，因此可加性问题问的是等号是否必须成立。正的 Δp 意味着并非如此：两副本 Bell 输入产生的输出熵小于单信道最小值的两倍。
这一区分很重要，因为该间隙并不是关于典型输入的陈述。它是由一个特定纠缠输入构成的见证，而论文构造的信道正是让这个见证成立。这里的熵间隙以 nat 为单位，因为论文中除非标明底数，所有对数都取自然对数。
一个信道覆盖截断以上的所有阶
定理 2.1 指出，对每个有限的 p0 > 0 和每个整数 r ≥ 1，显式公式给出一个信道 Φr,p0，从 M2N(r,p0)(C) 到 M215r(C)，具有实代数元素，使得 Δp(Φr,p0; Ω2N(r,p0)) 在 p ∈ [p0, ∞] 上的下确界超过 r/2。该信道及其 Bell 输入可以依赖于给定的 p0 和目标间隙，但不依赖于正在取值的阶 p。
这种一致性是论文的核心主张。此前的有限维反例通常在固定阶或受限区间上确立非可加性；这里一个信道和一个 Bell 输入就在从 p0 往上的每一个阶上（包括极限阶 p = ∞）证明存在间隙。整数 N(r, p0) 由式 (113) 精确给出，其上界为 9216r²30ʳ + 36864r(45r + 20 + (r + 16)/min{p0, 1/2})。
选取 r 把定理转化为目标间隙
定理中的 r/2 余量正是使该结果成为关于任意间隙的陈述的关键。对任意 g > 0，令 r = ⌈2g⌉ 就得到一个信道和同一个 Bell 输入，在 [p0, ∞] 内的每个阶上间隙都大于 g。因此破坏的增长由单个整数参数控制，而更大间隙的代价体现在维度上。
维度代价是不对称的。该构造使用 15r 个输出量子比特，随 r 线性增长；而输入量子比特数按 O(r²30ʳ + r²(1 + p0⁻¹)) 增长。指数因子 30ʳ 位于输入维度而非输出维度，因此即使所证明的间隙很大，输出一侧仍相对较小。
矩匹配取代了强收敛
这些信道具有形式 ΦF(X)st = (1/D)Tr(WsFXFWt*) + δst(1/D)Tr((In − F²)X)，其中 Ws 是给定的实置换矩阵，F 是给定的实对称正压缩。第一项是作用于 FXF 的互补混合酉信道；第二项是一个完全正替换映射。它们的迹之和为 Tr X，因此 ΦF 是一个信道。
正如作者所述，技术路线是用有限阶矩匹配取代通常用于把自由群估计转移到有限维的强收敛输入，并配合一个确定性滤波器，在保留 Bell 态见证所需的两副本关联的同时抑制例外方向。固定域高围长图提供实置换矩阵，精确重现所需的短自由群矩。由 Chebyshev 多项式和球面平均构造的滤波器随后把这些矩恒等式转化为熵比较所需的一致单副本界。论文指出，数值参数并非最优；它们被选来在证明中给出透明、完全解析的余量，因此所得维度应被理解为显式的可证明界。
输出量子比特少于 Shou–Gorshkov 构造
第 8 节将这一有限维实现及其维度界与 Shou 和 Gorshkov 的结果进行比较。摘要指出，对每个目标间隙，该构造使用的输出量子比特更少；当正截断固定、间隙增大时，其输入量子比特的渐近界也更小。对固定的 p0 > 0，当 g → ∞ 时，精确公式给出 B_in^ours = Θ(g²60ᵍ)，而 B_in^SG = Θ(g²285ᵍ/(2 log 2))。由于 85/(2 log 2) > 60，显式输入量子比特界在大间隙下的增长率也得到改善。
论文明确说明了这一比较的范围。它针对固定的 p0 > 0，不应被解释为在 g 与 p0 任意联合缩放下的输入维度一致优越性，尤其因为两种构造都没有做维度优化。因此该比较是关于可证明界在某一区域内如何缩放的陈述，而不是声称该构造在所有参数设置下都占优。
一个单独的特例针对冯·诺依曼阶
在 p = 1 处，一个单独的特例给出显式的实代数信道 Φ*，从 M2N*(C) 到 M256(C)，其中 N* = 37608898，其标准 Bell 输入满足 2Hmin,1(Φ*) − H1(Φ*⊗2(Ω2N*)) > 1/1024。也就是八个输出量子比特和 37,608,898 个输入量子比特，换来略高于 1/1024 的间隙。
该推论并非简单地把定理 2.1 应用于该间隙。直接把定理用于 g = 1/1024 将需要 r = ⌈1/512⌉ = 1，从而保证大得多的间隙 1/2。该推论改用针对单一阶 p = 1 定制的估计，以获得更小的显式实例。这提醒我们，定理的一致保证与专门构造回答的是不同问题：前者证明某一阶区间上的间隙，后者在单一阶上最小化实例。
可证明界说明了什么、没说明什么
该构造是闭式且有限维的，具有实代数元素和完全给定的参数。信道由给定的实置换矩阵和给定的实对称正压缩构成，熵比较依赖于式 (125) 中的一致单副本压缩界以及一个小的归一化迹界。这些就是间隙陈述成立的条件。
这些维度是可证明界而非优化后的维度，论文也直接说明了这一点。与 Shou–Gorshkov 的渐近输入量子比特比较在固定 p0 > 0、间隙增大时成立，而不是在 g 与 p0 任意联合缩放下成立。因此最具决策相关性的解读是阶区间与实例规模之间的权衡：定理 2.1 换来一个在 [p0, ∞] 上同时成立的间隙，代价是带有 30ʳ 因子的输入维度；而冯·诺依曼推论换来一个八输出量子比特的小实例，代价是限制在单一阶且间隙仅高于 1/1024。
本文引用的文献
Closed-Form Arbitrary-Gap Rényi Nonadditivity Above Any Positive Order via Direct Products of Free Groups and High-Girth Graphs
对每个 p0 > 0 和 g > 0，论文构造一个信道和一个 Bell 输入，其最小输出 Rényi 熵可加性间隙在 p ∈ [p0, ∞] 上同时超过 g，使用 15r 个输出量子比特和 O(r²30ʳ + r²(1 + p0⁻¹)) 个输入量子比特，其中 r = ⌈2g⌉；在 p = 1 处的一个单独特例给出高于 1/1024 的间隙，使用 37608898 个输入量子比特和 8 个输出量子比特。