重正化双局域 εK 算符的两圈匹配因子是什么？

长程 εK 贡献为何需要匹配因子

εK 衡量中性 kaon 系统中的间接 CP 破坏，论文把它视为标准模型的一项重要精密检验。第一性原理预言需要长程贡献，其中 ΔS=2 过程经由两个 ΔS=1 算符发生，而不是通过单个局域 ΔS=2 算符。

QCD 在相关能标下是非微扰的，因此该贡献必须在格点 QCD 模拟中计算。格点算符定义在诸如 RI/SMOM 这样的重正化方案中，而短程 Wilson 系数通常以 MS 方案给出。这里计算的匹配因子就是这两种语言之间的转换，没有它们，格点双局域结果就无法与 MS 方案的 Wilson 系数结合。

两套算符基与 Fierz 消失算符

计算从 ΔS=1 有效弱哈密顿量出发，它由流-流算符 Q1 和 Q2 以及 QCD 企鹅算符 Q3 到 Q6 构成，并带有 Wilson 系数 Ci 和 CKM 因子 Vij。电弱算符被省略，因为它们被因子 αEM 压低，因此在 εK 长程贡献的格点 QCD 计算中不予考虑。

双局域算符由两个这样的 ΔS=1 算符构成，其发散由正比于局域 ΔS=2 算符 QLL = (s̄a da)V−A (s̄b db)V−A 和 Q̃LL = (s̄a db)V−A (s̄b da)V−A 的反项抵消。这两个算符通过 Fierz 变换相联系，在四维中并不独立，但在 D = 4 − 2ε 中 Fierz 关系在 O(ε) 阶被破坏。因此论文引入 Fierz 消失算符 EF = Q̃LL − QLL，其矩阵元在去掉维数正规化参数 ε 后在树图阶为零。显式保留这一消失结构，才能使 QLL 与 Q̃LL 之间的混合在高阶定义良好。

为何采用 RI/SMOM 而非例外动量方案

论文在对称动量减除方案中工作，其中外夸克动量是非例外的：外动量的任何部分和都不为零。论文指出，这类方案比在例外动量点定义的方案具有更好的收敛性质。

具体的动量组态沿用 εK 长程贡献的格点 QCD 计算所用的组态。四个外动量都设为 p1² = p2² = p3² = p4² = −µRI²，并有 (p1 − p2)² = (p1 − p3)² = (p2 − p4)² = (p3 − p4)² = −µRI² 以及 (p1 − p4)² = (p2 − p3)² = (p1 + p4)² = −2µRI²。选择非例外动量是为了控制内夸克传播子携带小动量时可能出现的不必要红外效应，它留下三个独立外动量，取为 p1、p2 和 p3。

两圈计算如何组织

计算在四味 QCD 中进行，上、下、奇异夸克无质量，粲夸克有质量。一圈振幅用 FeynCalc 和 LiteRed 约化为 Passarino-Veltman 标量主积分，这些积分有已知的闭式。

在两圈阶，费曼图用 QGRAF 枚举和分类，Dirac 代数和投影用 FeynCalc 完成，投影后的振幅用 TARCER 和 LiteRed 并接口 FIRE6 约化为主标量积分。没有已知闭式的积分用 PySecDec 数值计算，有已知闭式的用 TARCER 计算。粲夸克质量和 αs 随重正化标度 µMS 的跑动由 RunDec 给出。维数正规化采用 D = 4 − 2ε 和朴素维数正规化以及反对易的 γ5，胶子作用量采用带参数 ξ 的协变规范固定项，其中 ξ = 0 对应 Landau 规范，ξ = 1 对应 Feynman 规范。

一圈检验确立了哪些结果

对于局域 ΔS=2 算符 QLL，一圈重正化给出 ZQMS = (αs/4π)(1/ε)[3(1 − 1/Nc)]，夸克波函数因子 Zq² = 1 − 2CF (αs/4π)(ξ/ε)，以及消失算符系数 bMSk = (αs/4π)(1/ε)(−1/(2Nc), 1/2, −3)。论文指出这些极点与早先文献附录 D 中给出的结果一致。

一圈匹配因子通过系数 Υγ 和 Υpij 表达，其中 ΔaRI→MSΔS=2 = Υγ + (1/4) Σi≤j Υpij (pi · pj)/p²，ΔrRI→MSΔS=2 = 2Δyq + ΔaRI→MSΔS=2，Δyq 是 RI 到 MS 夸克波函数转换因子之一。论文给出了两种夸克波函数 RI 方案下的 ΔrRI→MSΔS=2/(αs/4π)；对于 Nc = 3 和 ξ = 0，(γµ, γµ) 方案给出 −1.669471 + 2.000000 ln(−p²/µMS²)，(γµ, q̸) 方案给出 −4.336138 + 2.000000 ln(−p²/µMS²)。这些系数还包含常数 C0 = (2/3)Ψ′(1/3) − (2π/3)² ≈ 2.34391 和 Catalan 常数 G ≈ 0.915966。

论文还表明，其列表中的反对称旋量结构在该方案下不贡献于 RI/SMOM 到 MS 匹配因子，因为投影把每个树图结构 Mij 约化为 (pi · pj)/(4p²) 乘以树图阶 QLL 结构。这就是只需保留对称结构的原因。

匹配因子如何进入格点计算

匹配因子 YijMS(µMS, µRI) 以 ΔS=2 算符 Wilson 系数平移的形式进入 ΔS=2 长程贡献的有效哈密顿量。在论文的表达式中，双局域算符被替换为其格点对应物并对离散格点求和，局域 ΔS=2 算符以系数 CMSΔS=2 + Σi=1,2 Σj=1,6 CiMS CjMS YijMS(µMS, µRI) 出现，并乘以格点到 MS 的转换 ZLLLat→MS。

YijMS 的指标与 ΔS=1 Wilson 系数缩并，因此匹配因子并不单独出现：它们总是被构成双局域插入的两个 ΔS=1 算符的短程系数加权。这正是两圈结果被用来重正化 εK 长程贡献格点计算的具体含义。

一致性检验验证了什么

论文报告了若干检验。在插入抵消次发散所需的一圈反项后，非局域发散相消，预期的 GIM 相消去掉了包含外动量因子的八维极点，只留下正比于重正化粲夸克质量的极点。所有反项都被确认与 ξ 无关，两圈极点的系数与一圈极点系数所预期的值相符。这些反项还重现了早先发表的异常维度矩阵。

对于有限部分，论文与早先在同一组费曼图、外动量为零且使用 λu 消去而非本文所用 λc 消去的计算进行了比较。这会把两个流-流算符插入的内夸克味组合从 (cc − uc) 变为 (uu − uc)；在外动量为零时，uu 积分是无标度的，在维数正规化中为零，因此可以直接比较 uc 部分。作者在 GJK 消失方案中重新计算了外动量为零时的所有费曼图，并转换到 BG 消失方案，精确重现了早先结果。对于有限动量、部分积分必须数值计算的情形，他们使用大 mc 展开，并检验到 m̄c²/µRI² = 150，发现与 q = 0 结果在数值积分误差范围内一致。

用 PySecDec 数值计算的主积分带有准蒙特卡洛积分的固有不确定度。论文指出绝对积分误差远低于其表格中报告的精度，因此将其忽略。由于两圈系数 Υ(1) 是 mc、µMS 和 µRI 的数值函数，论文不直接报告其数值，而是报告一圈和两圈阶的匹配因子。

实践中如何选择 µMS 和 µRI

论文给出了若干 µMS 和 µRI 取值下的两圈匹配因子，这是使用该结果的人最实用的输出。共同标度的选择受到两侧约束：它必须足够低于格点截断标度以使离散化效应较小，但又必须足够高以使两个方案之间的微扰转换适用。提高 µMS 和 µRI 的共同取值会减小微扰级数截断带来的系统误差。

这一权衡，而非两圈结果本身的存在，才是论文摆在读者面前的决策。匹配因子是 µMS 和 µRI 的函数，因此有用的比较是在固定格点设置下不同标度选择之间的比较，而不是单个数值与固定参考之间的比较。两圈项正是使这种比较有意义的原因，因为它们是第一个能指示微扰转换在给定标度下收敛快慢的修正。

本文引用的文献