任意透明度自旋活性界面的边界条件
磁体与超导体之间的混合界面需要边界条件来连接两侧的准经典格林函数。此前广泛使用的表达式覆盖低透明度、无自旋依赖的任意透明度，或仅在受限极限下的自旋活性界面。本文推导了自旋活性界面在任意透明度下的边界条件，其中两种材料至少有一种处于扩散区。
结果形式紧凑。边界条件写为矩阵电流 nR·JR = Σn [(1 + Xn QR)^-1 Xn, QR]，其中 Xn = iπν h·στ3 + (πν)^2 Wn† (1 + iπν Q̃L h·στ3)^-1 Q̃L Wn。这里 ν 是右侧材料的态密度，h 是有效界面交换场，WnWn† 包含第 n 个模式的自旋相关透射率。左侧电极不必是扩散的：当左侧洁净时，Q̃L 替换为孤立左侧材料的准经典 Eilenberger 格林函数。
作用量形式把界面散射化为边界项
推导从总作用量 S = SL + SR + ST 出发，其中 SL 与 SR 是左右材料的体作用量，ST 是边界作用量。右侧材料假定为扩散的，因此其体作用量是矩阵场 QR 的泛函，并受非线性约束 QR^2 = 1 限制。对作用量变分并要求满足该约束的扰动满足 δS = 0，就得到体内的 Usadel 方程和界面处的边界条件。
边界作用量把早先的表达式推广到包含自旋相关透射系数和界面交换场。透射矩阵参数化为 Wn = tn + un Pn·σ，因此自旋平行于 Pn 的透射率为 |tn + un|^2，反平行时为 |tn − un|^2。正是这一点使所得边界条件能在同一框架内描述正常输运、磁电阻输运和穿过边界的自旋进动。由于构建使用了 Keldysh-Nambu-spin 形式，方程在正常态和超导态都成立。
已知边界条件作为极限情形重现
论文把自身表达式与早先文献对照。在低透明度极限下，边界条件回到自旋活性界面的已知结果。在无自旋依赖势垒的极限下，它们对任意透明度都与 Nazarov 和 Tanaka-Nazarov 边界条件一致。因此作者把结果表述为把早先表达式推广到一般自旋相关透明度。
推导还把 Tanaka-Nazarov 构造扩展到一种材料洁净、另一种扩散的结。正是这一扩展使形式能够描述非常规超导体通过自旋活性界面对脏金属的近邻效应，这也是后文 p 波和三重态情形所用的设定。
零偏压电导依赖 d 矢量取向
边界条件被用于 p 波超导体通过自旋活性界面的反常近邻效应。论文给出了 p 波超导体与自旋过滤器结中零偏压电导的解析表达式，并说明它如何依赖交换场与 d 矢量的相对取向。
受界面交换场修正的表面格林函数分别针对 d 矢量垂直于 h 和 d 矢量平行于 h 两种情形推导。在垂直情形，C 与 h·στ3 对易，X 的低能表达式约化为正比于 C 的形式。在平行情形，C 与 h·σ 都与 σz 对易，问题分解为二乘二块，X 的低能结果同时包含 h·στ3 项和 τ1 项。因此在解读电导结果时，这两种取向不可互换。
两类结的反常 Josephson 电流需要不同自旋取向
论文对比了通过磁性界面的两类 Josephson 结：两个自旋劈裂超导体，以及一个自旋劈裂超导体与一个三重态超导体。对于两个自旋劈裂超导体，当两侧磁化与势垒中的磁化共同张满整个自旋空间时出现反常 Josephson 电流，由约束 P·(h1 × h2) ≠ 0 表达。当三个矢量互相垂直时反常电流最大。
对于自旋劈裂超导体与三重态超导体，互相垂直的取向不产生反常 Josephson 电流，因为 P·(h × d) 是时间反演偶的量，不能对应时间反演奇的平衡电流。若 h 与 d 的相对取向不垂直，则通过 h、d 和 P 的高阶组合允许出现反常 Josephson 电流。论文指出，两类结关于自旋相对取向的条件明显不同，这与时间反演对称性一致。
二极管效应要求自旋透明度非零且不相等
论文表明，反常 Josephson 电流只有在自旋向上和向下的透明度都非零且不相等时，才伴随二极管效应。换言之，势垒必须有非零过滤但不能是完美过滤器：少数自旋需要具有不同于多数自旋的非零透射概率。
对于三重态超导体与自旋劈裂超导体，二极管效应只在 d、h 和 P 不互相正交的取向下被允许，且源于高阶不变量。论文报告二极管效率在高对称取向下消失，但在其他取向下可以非零，并随 d 矢量取向可正可负。它仍远小于自旋劈裂超导体结的情形，反映出自旋劈裂超导体 / 铁磁绝缘体 / 三重态超导体结中的非互易效应需要高阶不变量。
方法适用范围超出用于示例的结
论文指出，尽管聚焦于自旋劈裂超导体、非常规超导体和具有净极化的自旋活性界面，所提方法并不限于这些结类型。通过适当修改表面格林函数和透射矩阵 W 与 W†，它可应用于大量结类型，包括洁净侧具有任意非常规磁性、谷自由度或多能带的结。
通过作用量形式的构建还可推导电荷流、热流和自旋流对应的全计数统计。作者指出，这使研究超出本文所考察的稳态边界条件之外的效果成为可能，例如电荷流、自旋流和热流中的噪声。边界条件本身针对至少一种材料为扩散的界面推导；洁净侧扩展通过把 Q̃L 替换为孤立左侧材料的 Eilenberger 格林函数来处理。
取向约束是两类结的关键差别
本文最具决策相关性的比较是两类 Josephson 结之间。对于两个自旋劈裂超导体，反常电流条件是 P·(h1 × h2) ≠ 0，且当三个矢量互相垂直时效应最大。对于自旋劈裂超导体与三重态超导体，该互相正交取向不产生反常电流，非零效应要求 h 与 d 不垂直，并通过 h、d 和 P 的高阶组合实现。
第二个阈值是势垒质量。两种情形下，二极管效应都只在两个自旋透明度非零且不相等时出现，因此完美自旋过滤器并不足够。论文还报告三重态情形的二极管效率通常远小于自旋劈裂超导体情形。比较候选结的读者应首先检查取向约束，其次检查自旋过滤质量，而不是把反常 Josephson 电流和二极管效应当作同一种特征。
本文引用的文献
General boundary conditions for the quasiclassical kinetic equations in the presence of magnetism and unconventional superconductivity
推导了自旋活性界面在任意透明度和界面交换场下的紧凑边界条件，在正常态和超导态均成立，并应用于反常近邻效应以及三重态与自旋劈裂超导体之间的 Josephson 耦合。