Sherrington-Kirkpatrick 自由能上偏差的五阶律是什么？

此前上下界未定出的常数

复制理论早在被证明之前就预言了上尾的形状。Kondor 在临界温度附近一个截断模型的复制自由能中发现了一项 9n⁵/5120，Parisi 和 Rizzo 把计算推广到临界温度以下的每个温度，预言受约束的 Parisi 极小值 p(θ) 比平衡自由能 f_eq 高出 c_β θ⁵，其中 c_β = (9/640) β³ ρ_β(0)⁻³。这里 ρ_β(0) 是 Parisi 测度在零点的密度，即 Parisi 序参量在 x = 0 处斜率 q̇(0) 的倒数。

Aronow 和 Lopatto 最近证明，对每个 β>1 的 Sherrington-Kirkpatrick 模型，p(θ) − f_eq 被 θ⁵ 的常数倍从上下两侧夹住，并且对有限 N，F_{N,β} 超过 N(f_eq + log 2 + x) 的概率在 AN^{−2/3} ≤ x ≤ x₀ 时介于 e^{−CNx^{6/5}} 与 e^{−C′Nx^{6/5}} 之间。他们没有给出这些常数。本文补上了它们，所得到的值正是 Parisi-Rizzo 预言的领头项。

五阶超出为何变成六分之五次幂

上偏差由分数阶矩控制。Markov 不等式给出，对 0<θ<1，P(N⁻¹ log Z_N ≥ f) ≤ e^{−Nθf} E Z_N^θ，而 Talagrand 把 E Z_N^θ 的增长率与一个受约束的 Parisi 问题联系起来：该问题要求测度在零点带有质量至少为 θ 的原子。记 p(θ) 为该受约束极小值，分数阶矩公式为 lim_N N⁻¹ log E Z_N^θ = Λ(θ) := θ p(θ)，对 Sherrington-Kirkpatrick 模型它是 Contucci 和 Mingione 一个定理的单层情形。

因此 f_eq 附近的速率取决于 p(θ) 下降到 f_eq 的快慢。若当 θ↓0 时 p(θ) − f_eq 的量级为 θ⁵，则 f_eq + δ 处的速率的量级为 δ^{6/5}。这就是关于受约束测度的变分陈述与关于上尾的概率陈述之间的桥梁，也是本文的核心量是五阶超出而非直接的尾部指数的原因。

受约束极小值的第一接触是临界的

这个常数不是抽象的拟合参数，它来自受约束极小值 ζ_θ 在其支撑下端点附近、尺度为 θ 处的形状。对小的 θ，第一个正接触是临界的，位于 3θ/(2ρ_β(0)) (1+o(1))，并带有质量 θ/2 (1+o(1)) 的原子。在该接触以下，一个在接触点处等于恒等映射的函数 Γ_θ 与恒等映射之差，在领头阶上是一个普适三次函数。

这是原点处的局部陈述。本文表明，同样的平台演算适用于每个没有三次项、且 Parisi 测度在零点累积的混合 p-spin 模型，因此该机制并非 Sherrington-Kirkpatrick 协方差所特有。常数 c_β = (9/640) β³ ρ_β(0)⁻³ 来自对第一个平台高度的极小化，本文通过包络恒等式和普适三次函数得到它，而不是用复制文献中的试探测度展开。

测度底部的另外两种扰动

同样的局部演算还支配另外两种扰动。小的外场 h 打开一个量级为 |h|^{2/3} 的间隙，并在自由能中增加一项量级为 |h|^{10/3} 的项；本文记录 q_min(βH) = (3T q̇(0)/2)^{1/3} |H|^{2/3}(1+o(1)) 以及 f(H) − f(0) = H²/2 + (3/20)(9/(4T q̇(0)))^{1/3} |H|^{10/3}(1+o(1))，其中 T = 1/β。二次项 H²/2 是 Toulouse 恒等式 F″(0) = 1/β。

Parisi 测度在零点的一个原子——每个 p≥3 的纯 p-spin 模型都有——使速率函数从零处以线性方式离开，斜率等于该原子。这些是对同一对象的两种不同扰动，不应被读作同一个结果：场的情形是测度中量级为 |h|^{2/3} 的间隙和 |h|^{10/3} 的自由能修正，而原子的情形改变的是速率函数本身的局部行为。

近临界时常数趋于 Kondor 的值

当 β↓1 时，常数 c_β 趋于 Kondor 的值 9/5120，因此较早的近临界计算表现为全温度结果的一个极限，而不是一个单独的区间。本文还表明，临界区间在约束中的一个 de Almeida-Thouless 阈值处结束：对 1<β²<1+ε*，该阈值为 θ_c = (2/3)(β²−1) + O((β²−1)²)，其领头项与 Parisi 和 Rizzo 报告的复制对称线一致。

在其第一个接触以上，受约束测度与 Parisi 测度相差不超过 O(θ⁵)。这是 q(x) = q_free(x) + O(n⁵) 在第一个平台以上这一预言的受约束 Parisi 形式，本文是在近临界处而非临界温度以下的每个温度证明它的。

两个极限覆盖与不覆盖什么

所有极限都在固定 β 下取，先 N→∞ 再 δ↓0。本文不对象随 N 收缩的偏差作任何陈述，o(1) 项不携带速率，也没有任何关于 β 的一致结论。对每个 β>1 的陈述使用了 Lopatto 的定理，即零点是 Parisi 测度支撑的累积点；局部结果假设这一条件 (H)，而当 ξ′′′(0)=0 时它蕴含更强的条件：对某个 κ>0，[0,κ] 包含在支撑中。

当 ξ″(0)<1 时条件 (H) 失效，例如对每个 p≥3 的纯 p-spin 模型；除 Sherrington-Kirkpatrick 模型和近临界协方差之外，本文不知道对真正混合的协方差有 (H) 的证明。本文没有证明任何修正项，也没有涉及量级为 N^{−5/6} 的涨落，Parisi 和 Rizzo 用一个他们称为不严格的匹配论证把这种涨落与他们的指数联系起来。

确定常数对读者意味着什么

与判断相关的转变在于：N⁻¹ log Z_N 的上尾不再只被知道到相差未指定的、依赖 β 的常数。对每个 β>1 的 Sherrington-Kirkpatrick 模型，f_eq + δ 处的速率为 (5/6)(6c_β)^{−1/5} δ^{6/5}(1+o(1))，其中 c_β = (9/640) β³ ρ_β(0)⁻³；把 N⁻¹ log Z_N 换成 N⁻¹F_{N,β} − log 2 后，同样的陈述对 F_{N,β} 成立。

需要关注的量是 ρ_β(0)，即 Parisi 测度在零点的密度，它等于 β⁵W_*²/2，其中 W_* 是 ζ_* 的 Parisi 方程解在原点处的四阶空间导数。正是这个密度而非指数 6/5 承载了常数的 β 依赖，也正是位于 3θ/(2ρ_β(0)) 的第一个正接触连同其质量 θ/2 的原子产生了它。把这一结果与早期工作比较的读者应在固定 β 下比较常数而非指数，并应保持两个极限的所述顺序。

本文引用的文献