H-系统的弱解在有界畸变下何时局部有界？

大|u|区域上畸变有界即得局部有界

论文研究 H-系统 −div(|Du|^{n-2}Du) = (H∘u)Ju 的弱解 u ∈ W^{1,n}(U, R^{n+1})，其中 n ≥ 2，U 是 R^n 中的开单位球，H 有界。主要的有界性结论（定理 4.7）假设 0 ≤ R_0 < ∞、n^{n/2} ≤ κ < ∞，且对 L^n 几乎处处的满足 |u(x)| > R_0 的 x ∈ U 有 |Du(x)|^n ≤ κ|Ju(x)|。在这些假设下，对每个 0 < ρ < 1 都有 u ∈ L^∞(U(0,ρ), R^{n+1})。

该陈述中的两个条件容易被混为一谈。畸变界只要求在 |u| 较大的地方成立，而非在整个 U 上；结论是紧含子球上的局部有界性，而非 U 上的全局 L^∞ 界。常数 κ 的下界为 n^{n/2}，该值恰在 A*∘A 是单位阵的倍数、即线性映射 A 共形时取到。

配套的正则性结论（定理 1.1，由推论 4.8 证明）额外要求 H 的 Hölder 连续性：若对某个 0 < α ≤ 1 和 0 ≤ L < ∞ 有 |H(y) − H(z)| ≤ L|y − z|^α，则 u 有一个代表元，在 U 的每个紧子集上以某个正指数 Hölder 连续。论文并未给出该指数的具体数值。

共形性正是早期论证暗中依赖的条件

当 n = 2 时正则性理论是经典的：Wente 在 H 为常数且边界数据适当时证明了连续性，Grüter 对有界 H 的共形解证明了连续性，Bethuel 对有界 Lipschitz 的 H 证明了所有弱解的连续性，Rivière 对每个有界 H 证明了连续性。当 n ≥ 3 时图景更薄弱。Duzaar 和 Fuchs 对有界 Lipschitz 的 H 证明有界弱解连续；Mou 和 Yang 对有界 H 证明共形解连续；Wang 在 H 及其梯度满足衰减条件时得到 C^{1,α}；Duzaar 和 Grotowski 得到 Dirichlet 问题的 Hölder 连续极小元。在没有额外假设时，即使对 n ≥ 3 的有界 Lipschitz H，弱解的连续性仍是未决问题。

论文解释了共形情形为何可处理。Mou 和 Yang 用 u − a 乘以 |u − a| 的截断函数来检验方程，并对 ρ ↦ μ(U(a,ρ)) 的微分不等式积分，其中 μ 是能量测度 |Du|^n L^n 经 u 的推前。该微分不等式仅通过 |Du(x)*(v)|^2 ≤ n^{-1}|Du(x)|^2|v|^2（v ∈ R^{n+1}）使用共形性。

对一般映射，相应的对象是 |Du|^{n-2}Du∘Du* 的推前，其关于 μ 的密度 X 是映射 |A|^{-2}A∘A*（A = Du(x)）在 u 的各纤维上的加权平均。若 A 共形，该映射等于 n^{-1}(im A)^♮；否则其最大特征值超过 n^{-1}，Mou 和 Yang 所用的不等式失效。在纤维上取平均可能补偿这一点，但论文指出它未必能补偿。

推前泛函取代了变分簇的第一变分

证明把 |Du|^{n-2}Du∘Du* 经 u 推前，得到定义在 R^{n+1} 到 Hom(R^{n+1}, R^{n+1}) 的紧支集连续映射上的线性泛函 Σ。方程控制了 Σ 在导数上的取值，这正是后续论证所用的结构性输入。

Σ 关于 μ 的密度 X 由 Σ(F) = ∫ F • X dμ 定义，它是 |A|^{-2}A∘A*（A = Du(x)）在 u 的各纤维上的加权平均。论文明确指出，Σ 未必是某个变分簇 V 对应的泛函 F ↦ ∫ F(y) • S^♮ dV(y,S) 的倍数，而后者在导数上的取值给出 V 的第一变分。因此经典的变分簇第一变分路线在此不可用。

替代品是 De Philippis、Gennaioli、Pigati 和 Rindler 证明的一个 Michael–Simon 型不等式，适用于满足 g ↦ ζ(Dg) 具有有限全变差的线性泛函 ζ(F) = ∫ F • X dμ。在该不等式中，μ 由有限 H^m 测度的集合承载，X 取值于一个紧凸集，且在该集上第 m 个奇异值有下界；其中既不涉及被积函数，也不涉及单调性恒等式。论文表明，只要畸变 |Du|^n/|Ju| 有界，Σ 就具有这种形式，且 m = n。

有界畸变把密度限制在一个紧凸集内

畸变假设与 Michael–Simon 型不等式之间的桥梁是引理 2.8。对 n^{n/2} ≤ κ < ∞，令 Ψ_κ 为 {Y(A) : A ∈ Hom(R^n, R^{n+1}), 0 < |A|^n ≤ κ|J(A)|} 的凸包在 Hom(R^{n+1}, R^{n+1}) 中的闭包，其中 Y(A) = |A|^{-2}A∘A*。则 Ψ_κ 是非空紧凸集，且每个 X ∈ Ψ_κ 对称，并满足对 w ∈ R^{n+1} 有 Xw • w ≥ 0、trace X = 1、σ_1(X) ≤ 1、σ_n(X) ≥ (2κ^2)^{-1}。

下界 σ_n(X) ≥ (2κ^2)^{-1} 才是关键的定量内容：它正是 De Philippis–Gennaioli–Pigati–Rindler 不等式所需的第 n 个奇异值下界。该界随 κ 增大而变弱，因此允许的畸变越大，常数越弱，但论证不会被破坏。

引理 2.8 的证明还记录了共形端点。R^n 到 R^{n+1} 的包含映射 A 满足 |A|^n = n^{n/2} = n^{n/2}|J(A)|，故 Y(A) ∈ Ψ_κ，Ψ_κ 非空。这正是主要定理中作为 κ 下界出现的同一个 n^{n/2}。

推前测度的质量比下界迫使像集有界

Michael–Simon 型不等式被应用于泛函 F ↦ Σ_ρ(φF)，其中 φ 是以 μ_ρ 支集上一点 a 为中心的径向截断函数。引理 4.6 的结论是：若 0 ≤ R_0 < ∞、n^{n/2} ≤ κ < ∞、畸变条件成立、ρ 是正则的、a ∈ spt μ_ρ，且 0 < r ≤ min{dist(a, K_ρ), |a| − R_0}，则 μ_ρ(U(a,r)) ≥ (4n^{1/2}Γ_κ)^{-n} min{r, h^{-1}}^n，其中当 h = 0 时 h^{-1} = ∞。

这是 |Du|^n L^n 经 u 的推前测度质量比的一个下界，半径 r 被到 K_ρ 的距离和 |a| − R_0 所限制。常数依赖于 n、Γ_κ，以及 H 的上确界范数 h，通过 min{r, h^{-1}}^n 项体现。

从质量比到有界性是一个计数论证。由于 μ(R^{n+1}) = ∫ |Du|^n dL^n < ∞，μ_ρ 的支集在远离边界像的区域中只能包含有限多个彼此距离至少为 2r 的点。在定理 4.7 的证明中，取 spt μ_{ρ'} ∼ W 中的点 a_1, …, a_N 满足 |a_i − a_j| ≥ 2，则球 U(a_i, 1) 互不相交，且 N c_0 ≤ μ_{ρ'}(R^{n+1}) < ∞，故 N 有限，spt μ_{ρ'} 含于某个 B(0, R_1) 中。取在 |y| ≤ R_1 上为零的截断 ψ(y) = γ(|y|)y，则 w = ψ∘u 在 U(0, ρ') 上几乎处处满足 Dw = 0，Poincaré 不等式迫使 w 在该处为常数，从而在 U(0, ρ') 上几乎处处有 |u(x)| ≤ max{R_1 + 1, |c|}。

H 的 Hölder 连续性把有界性升级为 Hölder 连续

推论 4.8 增加假设 |H(y) − H(z)| ≤ L|y − z|^α，其中 0 < α ≤ 1、0 ≤ L < ∞。由于 |H(y) − H(z)| ≤ min{2h, L|y − z|^α} ≤ (2hL)^{1/2}|y − z|^{α/2}，证明可假设 α < 1。对 0 < ρ < 1 作伸缩 u_ρ(x) = u(ρx)，并在弱形式中换元，可知 u_ρ 是 H-系统的有界弱解，于是关于连续 H 的局部有界弱解局部 Hölder 连续的已知结果适用于 u_ρ；由于 ρ 任意，结论成立。

这就是论文把有界性定理视为实质性一步的原因。论文引用 Fusco、Kristensen、Leone 和 Verde 的结果：当 H 连续时局部有界弱解局部 Hölder 连续，当 H 局部 Lipschitz 时局部 C^{1,α}（某个 α ∈ (0,1)）。因此对连续 H，只需证明局部有界性。

论文也指出了其结论未解决的部分。Martino 和 Schikorra 以及 Schlagenhauf 构造了 n ≥ 3 时 U → R^{n+2} 的有界不连续映射，它们解的是具有 L^n 中反对称势的 n-Laplace 系统，但这些例子涉及更大的方程类，并不构成 H-系统的反例。在没有额外假设时，即使对 n ≥ 3 的有界 Lipschitz H，弱解的连续性仍未决。

畸变阈值才是论文真正的分界线

论文指出，对共形 u，畸变等于 n^{n/2}，该情形的连续性归功于 Mou 和 Yang。论文还指出，它不知道大于 n^{n/2} 的有界畸变有更早的文献。这是论文对其增量贡献的自我定位：新假设是严格高于共形值的有界畸变，且只要求在 |u| 较大的地方成立。

由陈述直接可得两条边界。第一，有界性结论是局部的，在 U(0, ρ)（0 < ρ < 1）上成立，且畸变假设只要求在 |u| 超过 R_0 的集合上成立；定理并未断言 U 上的全局界，也未断言去掉大 |u| 限制后仍成立的界。第二，Hölder 结论除有界外还要求 H Hölder 连续，且论文未给出所得到的指数。

因此论文中最具决策价值的比较，是共形情形（畸变固定为 n^{n/2}，Mou–Yang 论证适用）与高于 n^{n/2} 的有界畸变情形（Mou–Yang 不等式失效，需要改用推前泛函 Σ）之间的比较。越过 n^{n/2} 的定量代价体现在常数上：引理 2.8 中的 σ_n(X) ≥ (2κ^2)^{-1} 与引理 4.6 中的 μ_ρ(U(a,r)) ≥ (4n^{1/2}Γ_κ)^{-n} min{r, h^{-1}}^n 都随 κ 增大而变弱。读者若要判断某个给定解是否落在定理范围内，应检查大 |u| 区域上的畸变界、κ 相对于 n^{n/2} 的取值，以及 H 是否 Hölder 连续，因为这三个条件把有界性结论与 Hölder 结论区分开来。

本文引用的文献