当效用函数不连续时，交换经济的模糊核何时非空？

模糊核放宽了联盟的完全参与要求

模糊核是纯交换经济的一种合作解概念，它推广了经典核。在Edgeworth和Debreu-Scarf的标准表述中，一个联盟只有在所有成员完全参与时才能阻止某个配置。Aubin放宽了这种全有或全无的要求，允许每个代理人以任意比例的资源加入阻止联盟，该比例由[0,1]中的系数表示。模糊联盟是一个参与率向量，模糊核则收集所有无法被这类分数联盟阻止的可行配置。

论文研究的纯交换经济由每个代理人的消费集、初始禀赋和效用函数定义。文中使用两个基本假设：每个消费集是闭凸集且包含该代理人的禀赋；可行商品配置集合是紧集。在这些假设下，可行集是紧凸集，这正是后续存在性论证得以成立的基础。

仅有效用不连续并不导致核为空

论文的例2.1是一个两代理人、两商品经济，禀赋分别为(1,0)和(0,1)，消费集为[0,2]×[0,2]。代理人1的效用恰在(1,0)处等于1，其他点为0；代理人2的效用(0,1)处为1，(0,0)处为-1，其他点为0。代理人2的效用在其消费集上既非上半连续也非下半连续，但两个效用函数都是拟凹的。

直接计算模糊核可知，它等于唯一的配置((1,0),(0,1))，即初始禀赋点。在该配置处两个代理人都获得效用1，任何分数联盟都无法将任一代理人严格推高到1以上，因为每个效用函数只在禀赋处达到最大值。反过来，任何其他可行配置给两个代理人的效用至多为0，权重为(1/2,1/2)的均分联盟可以阻止它。因此，一个效用真正不连续的经济仍可能有非空模糊核，这正是论文其余部分试图刻画的现象。

独立π平衡族推广了经典平衡性

为了将模糊核与博弈论中的核联系起来，论文引入了代理人集合子集的独立π平衡族。对于有限指标集K，以及每个联盟S和指标k对应的S上单纯形中的向量π，联盟族β是独立π平衡的，如果存在非负权重使得π向量的加权和等于单位单纯形的重心，权重之和为1，且承载正权重的π向量仿射无关。

这一概念推广了经典平衡性条件。当每个联盟只选取一个固定的π时，独立π平衡族退化为Shapley意义下的π平衡族。仿射无关要求使该构造可用于NTU博弈的支付依赖核，因为它控制了在边界支付处可以有多少个联盟同时活跃。

两个支付依赖NTU博弈连接了各类核

论文利用独立π平衡族，从交换经济构造了两个支付依赖NTU博弈。这些博弈充当桥梁，将模糊核、新定义的TU模糊核以及NTU博弈的核联系起来。特征函数博弈的核定义为大联盟的可行支付集减去所有联盟支付集并集的内部，遵循Bonnisseau和Iehlé的定义。

在每个联盟的支付集非空、闭且全面，且单元素集内部之外的支付有上界的假设下，论文证明联盟支付集并集的内部等于它们内部的并集。这使得核可以写成大联盟支付集减去内部之并的形式，这正是支付依赖平衡性条件所使用的形式。支付依赖平衡博弈因此保证存在一个满足额外选择要求的核支付。

局部稳定性条件给出非空性结论

论文为交换经济提出了两个稳定性条件。局部模糊联盟稳定性是指：对于模糊核之外的每个可行配置，存在一组阻止威胁（每个联盟一个），以及该配置的一个开邻域，使得邻域内模糊核之外的每个配置都至少被某个联盟的相应威胁严格改进所有成员。局部TU模糊联盟稳定性是TU模糊核的类似条件，其中阻止以加权效用和而非个人效用来评估。

在局部模糊联盟稳定性下，论文证明了拟凹效用函数经济的模糊核非空。在局部TU模糊联盟稳定性下，论文证明了凹效用函数经济的TU模糊核非空。因此，这两个定理将稳定性条件与凹性假设配对：模糊核对应拟凹性，TU模糊核对应更强的凹性。当经济只有两个代理人时，论文指出模糊核的拟凹性假设和TU模糊核的凹性假设都可以完全去掉。

TU模糊核是一个新的可转移效用对象

论文为纯交换经济引入了TU模糊核，作者称这是首次在此背景下定义模糊核的可转移效用版本。这将模糊核文献与经典TU博弈方法联系起来。在TU模糊核中，阻止通过效用的加权和而非每个成员的个人效用来评估，因此该对象不同于模糊核，回答的是关于联盟稳定性的另一个问题。

这一区分很重要，因为两个核在同一经济上可能表现不同。论文的例3.2使用三个代理人，效用函数拟凹但不凹。该经济满足局部TU模糊联盟稳定性，具有非空TU模糊核，但不满足局部模糊联盟稳定性，同时仍具有非空模糊核。因此，论文提出的充分条件绝非必要条件，充分条件与不连续经济中模糊核实际存在之间的差距仍然很大。

稳定性条件能解决和不能解决什么

论文的贡献是一组充分条件，而非刻画。局部模糊联盟稳定性保证拟凹效用下模糊核非空，局部TU模糊联盟稳定性保证凹效用下TU模糊核非空，但例3.2表明，一个经济可以具有非空模糊核和非空TU模糊核，却不满足相应的局部稳定性条件。因此，读者应将这些条件视为在特定经济中证明存在性的工具，而不是不连续经济要具有非空核就必须通过的检验。

论文中最具决策相关性的区分是两个核及其假设。如果问题是某个不连续交换经济是否具有非空模糊核，相关条件是局部模糊联盟稳定性配拟凹效用，且在两代理人时拟凹性要求消失。如果问题涉及可转移效用版本，相关条件是局部TU模糊联盟稳定性配凹效用，同样在两代理人时凹性要求消失。三代理人例子最清楚地警告：满足一个条件并不意味着满足另一个，而且即使两个局部稳定性条件都不满足，核也可能非空。

本文引用的文献