两次扰动如何产生第三个回声
在物理学中，回声不只是声音撞到墙上反弹回来。它是一种延迟的、集中的响应，出现在系统受到扰动、其内部运动经过一段时间变得不同步、随后又部分重新对齐之后。“回声的回声”的关键要求是第二次扰动。在无碰撞系统中——粒子或恒星运动时不会频繁碰撞——第一次扰动会建立一个在相空间中扩散的响应，相空间是位置和速度构成的抽象空间。稍后的第二次扰动也会产生同样的效果。两个扩散开的响应随后可以发生非线性相互作用，产生第三个宏观的类回声响应，尽管并没有施加第三次扰动[4]。
这一理论最早在20世纪60年代的等离子体物理中提出，现在已被推广到星系。在一个银河系垂直运动的模型中，研究人员推导出了这一等离子体回声理论的星系版本，并在理想化模拟中证实了预测的行为，模拟中分别考虑了和不考虑分子云散射恒星带来的扩散效应[4]。同样的基本逻辑也出现在量子系统中：在弱非谐阱中，一团原子受到两次连续脉冲作用后，会在脉冲间隔的整数倍时间出现脉冲式响应——最明显的是在间隔的两倍处——这些被称为回声[5]。
复活回声：原始响应重新聚集
回声可以有回声还有第二种更丰富的机制。在囚禁原子系统中，即使只有一次扰动，也会产生“复活”：初始响应逐渐消失，然后在固定的复活时间重新聚集，因为阱的轻微非谐性使量子波函数的不同部分重新同相[5]。当加入第二次较小的扰动时，复活和回声响应会叠加。结果是一组“复活回声”——出现在复活时间之前和之后的局域响应，时间偏移量等于两次扰动之间的间隔。取决于扰动的形状和大小，主要的复活回声可能远大于间隔两倍处的简单回声[5]。
这对本问题很重要，因为它表明“回声的回声”不是单一现象。在等离子体和星系情形中，第三个响应来自两次扰动的非线性耦合[4]。在量子情形中，额外的响应来自第二次扰动引起的回声与第一次响应的自然复活之间的相互作用[5]。两者都是真实的、被预测的，量子情形还针对含时薛定谔方程进行了数值验证，但它们是不同的机制。
物理学之外的用法：仍带痕迹的复制品
这个说法也作为比喻出现。一项关于当代瑞士民族主义的研究将海蒂形象描述为“回声的回声，模拟的模拟”，每一次重复都增加了失真，但也保留了一丝痕迹、一种渴望、一个问题[2]。同样，一篇1952年关于广播中诗歌的文章，把对广播中诗歌的希望比作“回声的回声的回声”——对最初热情的一种微弱、遥远的重复[3]。在这两种情况下，回声的回声不是物理信号，而是一种文化复制品，它被重复到足以模糊、但尚未抹去其来源的程度。
那么，回声能有回声吗？
在物理意义上，能——只要系统类型合适，并且至少被扰动两次。第三个响应不是字面意义上声音撞到第二堵墙反弹，而是由两个较早响应相互作用产生的延迟、集中的信号。星系研究提醒说，银河系恒星相空间中特定的“蜗牛”结构不太可能是纯粹的回声效应，但底层物理足够普遍，这类回声预计在盘星系中很常见[4]。量子研究表明，额外回声的时间和强度取决于扰动的对称性和大小，原子-原子相互作用也会影响这一现象[5]。在比喻意义上，这个说法已经用于描述带有原件痕迹的文化重复[2][3]。
本文引用的文献
椎间盘的磁共振弹性成像：自旋回波-回波平面成像序列验证
用于椎间盘磁共振弹性成像的自旋回波-回波平面成像序列测得的硬度与标准梯度回波方法相关性良好，重复性高，并将扫描时间至少缩短了51%。
故乡如回声，怀旧如策略：通过海蒂形象重新思考故乡
当代瑞士民族主义中的海蒂形象被描述为“回声的回声，模拟的模拟”，每一次重复都增加了失真，但保留了渴望的痕迹。
广播诗歌：一门失落的艺术？
一篇1952年的文章把对广播中诗歌的希望比作“回声的回声的回声”，一种微弱而遥远的重复。
星系回声
在受到两次扰动的无碰撞系统中，两个响应可以非线性混合，在没有第三次扰动的情况下产生第三个宏观回声响应；这种相空间回声物理被推导用于星系并在模拟中得到验证，尽管盖亚蜗牛本身不太可能是纯粹的回声效应。
非谐囚禁原子系统中的回声与复活回声
在弱非谐阱中受到两次连续扰动的原子，会在间隔的整数倍处出现回声，并在自然复活时间前后出现“复活回声”，主要的复活回声有时远大于间隔两倍处的简单回声。